Формула замены переменной (интегрирование подстановкой).

Метод замены переменной (интегрирование подстановкой)

ТЕОРЕМА. Пусть 1) функция непрерывна на промежутке ; 2) функция непрерывно дифференцируема на промежутке , имеет множество значений, принадлежащих промежутку , и на . Тогда

, (**)

где – какая-либо первообразная для функции на ;

– обратная функция для функции .

В самом деле, условие гарантирует существование
обратной функции и ее производной . Дифференцируя по на сложную функцию , и учитывая
равенство , получим

.

Итак, функция – первообразная для на .

Теорема показывает, что если при вычислении интеграла удается подобрать функцию , с указанными свойствами и интеграл вычисляется, то исходный
интеграл определяется формулой (**), при этом счет проводится по алгоритму:

выбрать функцию с непрерывной и знакопостоянной
производной так, чтобы эта функция отображала промежуток в промежуток определения функции ; найти обратную
функцию ;

найти , ;

заменить интеграл интегралом ;

вычислить ;

вернуться к первоначальной переменной интегрирования ,
заменяя . Получить ответ в виде .

Ниже рассмотрены некоторые часто встречающиеся интегралы и применяемые для их вычисления подстановки.

1. Тригонометрические подстановки , , применяются в тех случаях, когда подынтегральное
выражение содержит радикалы , , или их степени.

ПРИМЕР 1. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Положим , . Тогда , , , . Имеем

, отсюда получаем

.

ПРИМЕР 2. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Положим , . Тогда , , , и

.

Возвращаясь к первоначальной переменной (пункт 5 алгоритма), выразим сначала через :

.

Отсюда .