Раскрытие неопределённости по правилу Лопиталя.

Физический смысл производной.

Пусть x —время, а y = f(x) —координата точки, движущейся по оси

Oy, в момент времени x. Разностное отношение

∆y/∆x=f(x +∆ x) − f(x)/∆x

называется средней скоростью точки на промежутке времени от момента

x до момента x + ∆x, а величина (∆x-0)lim ∆y/∆x= f’ (x) = v(x)

называется мгновенной скоростью точки в момент времени x.

В случае произвольной функции y = f(x) производная f’(x) характеризует скорость изменения переменной y (функции) по отношению к изменению аргумента x.

Физический смысл дифференциала функции.

Пусть x —время, y = f(x)-координата точки на оси Oy в момент времени x.Тогда ∆y = f(x + ∆x) − f(x) —изменение (приращение) координаты за промежуток времени от момента x до момента x+∆x. При этом dy = f’(x) · ∆x = v(x) · ∆x, то есть дифференциал равен тому изменению координаты, которое имела бы точка, если бы ее скорость v(x) на отрезке времени [x,x + ∆x] была постоянной, равной f’(x).

Раскрытие неопределённости по правилу Лопиталя.

Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или

.

Тогда, если существует предел отношения производных этих функций

,

то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем

(1)

Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.Замечание. Отметим, что формула (1) справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует.

Например, найти . Этот предел существует . Но отношение производных (1+cosx)/1=1+cos x приx→∞ не стремится ни к какому пределу.

Заметим, что если отношение производных опять представляет собой неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить сформулированную теорему, то есть перейти к отношению вторых производных и так далее.Вспомним, что к этим двум случаям сводятся случаи других неопределенностей: ∞·∞; 0·∞.Для раскрытия неопределенностей 1^∞, 1⁰, ∞⁰ нужно прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.