Пусть 
и 
– дифференцируемые функции переменной x. Найдем дифференциал от их произведения 
. Проинтегрировав обе части этого равенства, получим
.
Определение. Формула
называется формулой интегрирования по частям.
Чтобы применить эту формулу, подынтегральное выражение 
представим в виде произведения 
. Тогда вычисление исходного интеграла сведется к нахождению двух других интегралов: 
и 
. Поэтому необходимо так выбрать выражения u и 
, чтобы два новых интеграла оказались более простыми, чем исходный.
Пример:Найти 
.
Решение. Положим 
, 
. Тогда 
, 
(берем только первообразную при 
). Используя формулу интегрирования по частям, получим
.
Пример:Найти 
.
Решение. Положим 
.
Тогда
.
Метод интегрирования по частям применяется для интегрирования произведения функций. Например, в интегралах вида
, 
, 
, 
— целое,
выбирается 
, а в интегралах вида
, 
, 
в качестве u берутся функции 
, 
, 
, соответственно (Почему?).
С помощью интегрирования по частям берутся также интегралы от основных элементарных функций, которых нет в таблице:
, 
, 
.
Формулу интегрирования по частям в одном примере можно применять несколько раз.
