Интегрирование некоторых иррациональных выражений

а) Рассмотрим интегралы вида

(2)

где R – рациональная функция от переменных, - натуральные числа,

Пусть S – наименьший общий знаменатель дробей Тогда с помощью замены интеграл (2) сводится к интегралу от рациональной функции переменного .

Рассмотрим, например, интеграл

.

Выбирая наименьший общий знаменатель дробей (то есть 6), сделаем замену . Тогда и

Остается вычислить последний интеграл, как это указано в 1.6.

б) При вычислении интегралов вида

1) 2) 3)

где - рациональная функция, удобно пользоваться следующими тригонометрическими подстановками соответственно:

или 2) или 3) или

В этом случае исходные интегралы сводятся к интегралам, описанным в 1.7 и в 1.8.

в) Интегралы от дифференциального бинома, т.е. интегралы вида

где и - действительные числа, а и - рациональные, сводятся к интегралу от обычной рациональной функции одного переменного только в трех случаях (теорема Чебышева):

1) -целое число; 2) - целое число; 3) - целое число.

В первом случае это делается при помощи подстановки , где s – общий знаменатель дробей и ; во втором случае можно положить , где s – знаменатель дроби ; в третьем применяют подстановку , где s – знаменатель дроби .

1.11 Определенный интеграл. Понятие определенного интеграла Римана и его свойства хорошо изложены в литературе (см. /1 – 4/), поэтому мы останавливаться на этом не будем. Рассмотрим лишь способы вычисления определенных интегралов и их приложения.

а) Формула Ньютона-Лейбница (основная теорема интегрального исчисления).

Пусть функция непрерывна на отрезке . Если функция является произвольной ее первообразной на этом отрезке, то

б) Формула замены переменной.

Пусть

1) функция непрерывна на отрезке ;

2) функция непрерывно дифференцируема на отрезке , причем для всех , и

Тогда

Таким образом, при замене переменного в определенном интеграле следует всюду формально заменить на и соответственно изменить пределы интегрирования.

в) Формула интегрирования по частям.

Если функции и непрерывно дифференцируемы на отрезке , то