Його геометричний і механічний зміст

При розв’язуванні різних задач часто доводиться розглядати функції, визначені на деякій поверхні. Такими функціями є, наприклад, поверхнева густина маси, яка розподілена на поверхні, швидкість рідини, що протікає через задану поверхню.

Теорія поверхневих інтегралів багато в чому аналогічна теорії криволінійних інтегралів. Розрізняють поверхневі інтеграли першого і другого роду.

Означення 1. Поверхня називається гладкою, якщо в кожній її точці існує дотична площина, яка неперервно змінюється вздовж поверхні.

Означення 2. Поверхня s називається кусково-гладкою, якщо вона може бути представлена у вигляді об’єднання скінченного числа неперервно сполучених гладких поверхонь.

Нехай f(P) = f(х, y, z) – функція, визначена і неперервна на деякій гладкій чи кусково-гладкій поверхні Q . Для простоти обмежимось гладким випадком. Розіб’ємо поверхню Q на n довільних частин d _і без спільних внутрішніх точок (Рис. 27).

Рис. 27

Нехай Dd _і – площа, (і = 1, 2, … n). У кожній частині d _і фіксуємо довільну точку М_і (x_і, h_і, z_і), обчислимо f (x_і, h_і, z_і) і складемо суму:

(6.1)

Сума (6.1) називається інтегральною сумою для функції f(х, y, z) за поверхнею.

Означення. Якщо інтегральна сума (6.1) при l 0 має скінченну границю, яка не залежить ні від способу розбиття поверхні Q, ні від вибору точок , то цю границю називають поверхневим інтегралом першого роду від функції f(х, y, z) за поверхнею Q і позначають:

.

Таким чином, за означенням:

. (6.2)

У цьому випадку функція f(х, y, z) називається інтегровною за поверхнею Q , а поверхня Q областю інтегрування.

Геометричний зміст. Якщо f(х, y, z) º 1 , то площа поверхні Q обчислюється за формулою:

.

Механічний зміст. Якщо функція f(х, y, z) виражає поверхневу густину поверхні Q f(х, y, z) º g(х, y, z), то маса поверхні Q обчислюється за формулою:

.