Основні поняття

Фігурою Ф будемо називати лінію L на площині або в просторі (Рис. 1, а), зокрема це може бути відрізок осі (Рис. 1, б), плоску область S (Рис. 2, а), поверхню в просторі Q (Рис. 2, б), або об’ємне тіло R (Рис. 3). Лінія L називається одномірною фігурою,плоску область S та поверхню в просторі Q називають двомірною фігурою та об’ємне тіло R тривимірною фігурою.

Для довільної фігури її діаметром називається найбільша відстань між двома її довільними точками. Розглядати будемо тільки обмежені фігури, тобто фігури кінцевого діаметру. Кожну фігуру розглянемо як матеріальний об’єкт, тобто вона має масу. Лінію L будемо розглядати як тонкий довільно зігнутий стрижень, області S та Q можна уявити у вигляді дуже тонкої плоскої або вигнутої пластинки .

а б

Рис. 1

а б

Рис. 2

Рис. 3

Кожна фігура відповідно до свого типу має свою міру. Для одномірних фігур (ліній) мірою є довжина, для двомірних фігур (поверхонь та плоских областей) мірою є площа та для просторових тіл мірою є об'єм. Міру фігури позначимо через m .

Нехай дана фігура Ф и функція f(P) кожної точки фігури (причому f(P) обмежена, тобто f(P) < М, де М º const).

Зробимо наступне:

1. Розіб'ємо фігуру на кінцеве (n) число частин – часткові фігури. Нехай всі часткові фігури мають кінцевий діаметр. Міру часткової фігури позначимо через Dm.

2. У кожній частковій фігурі виберемо точку Р_к і обчислимо значення функції f(P_к) у цій точці.

3. Значення f(P_к) помножимо на міру часткової фігури Dm.

4. Складемо всі отримані добутки. Отримана сума називається n-ою інтегральною сумою (сумою Дарбу).

Нехай l = maxDm_к, тоді границя інтегральних сум називається інтегралом за фігурою, тобто

(1.1)

В інтегралі (1.1) функція f(P) називається інтегральною функцією, а вираз f(P)dm - підінтегральним виразом.

ТЕОРЕМА. Якщо функція f(P) неперервна на замкнутій та обмеженій області, то інтеграл за фігурою від неї існує (без доведення).