Вычисления определенных интегралов

a). Основным способом вычисления определенных интегралов является определение первообразной для подынтегральной функции и использование формулы Ньютона-Лейбница, которая может быть записана в виде

b). Замена переменной в определенном интеграле осуществляется по следующей формуле

где и определяются в силу замены из условий и . Следует отметить, что при замене переменной в определенном интеграле, в отличие от замены переменной в неопределенном интеграле, возвращаться к старой переменной после замены не надо.

c). Формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид

Рекомендации по выбору u и dv остаются точно такими же, как и для формулы интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

В задании 6 необходимо вычислить определенный интеграл. В некоторых случаях необходимо воспользоваться заменой переменной в определенном интеграле, в других - формулой интегрирования по частям.

Задание 6. Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой

a). , b). , c). ,

d). , e). , f). .

Решение: В заданиях a), b), c), d) выполним или замену переменной или внесение под знак дифференциала. В заданиях e), f) применим формулу интегрирования по частям.

Задание 6 a). .

Воспользуемся методом замены переменной. Введем новую переменную t по формуле . Тогда или . Осуществим пересчет пределов интегрирования, используя вид замены. Подставим нижний предел интегрирования старой переменной в выражение и найдем нижний предел интегрирования новой переменной . Аналогично, подставляя верхний предел интегрирования старой переменной , найдем верхний предел интегрирования новой переменной . Тогда

Отметим, что предложенный пример можно было вычислить, используя метод внесения под знак дифференциала (можно было внести под знак дифференциала ). В этом случае пересчет пределов интегрирования не осуществляется. Этот метод будет проиллюстрирован в следующем примере.

Задание 6 b). .

Воспользуемся методом внесения под знак дифференциала. Внесем под знак дифференциала функцию . Так как

то получим

Задание 6 с). .

Воспользуемся методом замены переменной. Введем новую переменную t по формуле . Тогда . Осуществим пересчет пределов интегрирования. При получим . При получим . Тогда получим

Задание 6 d). .

Воспользуемся методом внесения под знак дифференциала. Внесем под знак дифференциала функцию .

Задание 6 e). .

Применим формулу интегрирования по частям для определенного интеграла. Данный интеграл является интегралом II типа.

Задание 6 f). .

Применим формулу интегрирования по частям для определенного интеграла два раза, так как под знаком интеграла стоит многочлен второй степени. Данный интеграл является интегралом I типа.

Геометрические приложения определенного интеграла

Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , осью Ох и прямыми .

Площадь всякой плоской фигуры можно рассматривать как сумму или разность площадей некоторых криволинейных трапеций. Это означает, что с помощью определенных интегралов можно вычислить площади различных фигур.

Если фигура ограничена сверху графиком функции , снизу графиком функции (причем на отрезке ) и прямыми , то площадь полученной фигуры находится по формуле

Если фигура ограничена справа графиком функции , слева графиком функции (причем на отрезке ) и прямыми , то площадь полученной фигуры находится по формуле

Объем тела, образованного вращением кривой , ограниченной прямыми при , вокруг оси OX, равен

Объем тела, образованного вращением кривой , ограниченной прямыми при , вокруг оси OY, равен

Задание 7. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями . Сделать чертеж.

Решение: Построим фигуру, ограниченную линиями и . Для этого предварительно найдем точки пересечения этих кривых.

Рис. 1.

Таким образом, кривые пересекаются в точках и . Из чертежа видим, что фигура ограничена слева прямой , справа прямой . На отрезке график функции лежит выше графика функции . Для нахождения площади фигуры воспользуемся формулой , где .

Ответ:

Задание 8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями , , и осями координат. Построить чертеж.

Решение: Построим фигуру, ограниченную линиями

1) - парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы - точка A(0, 1). Ось симметрии – ось OY.

x			-1		-2
y

2) - парабола, ветви которой направлены вправо. Вершина параболы - точка E(1, 0). Ось симметрии – ось OX.

x
y			-1		-2

3) - прямая параллельная оси ось OY.

- ось OY. 5)

- ось OX.

Рис. 2

Найдем объем тела, образованного вращением фигуры OABCDEO. Объем указанного тела можно найти как разность объемов тел, образованных вращением фигур OABCDKO и EDKE, то есть

Так как каждая из указанных фигур вращается вокруг оси OX, ограничена осью OX, прямыми , и графиком одной функции на отрезке , то объемы тел вращения этих фигур можно найти по формуле

Для фигуры OABCDKO имеем: .

Для фигуры EDKE имеем: .

Тогда

Варианты ИДЗ №6

«ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ»

Задание 1. Найти определенные интегралы:

1) а) ; б) , в) ; г) ;

2) а) ; б) , в) ; г) ;

3) а) ; б) , в) ; г) ;

4) а) ; б) , в) ; г) ;

5) а) ; б) , в) ; г) ;

6) а) ; б) , в) ; г) ;

7) а) ; б) , в) ; г) ;

8) а) ; б) , в) ; г) ;

9) а) ; б) , в) ; г) ;

10) а) ; б) , в) ; г) ;

11) а) ; б) , в) ; г) ;

12) а) ; б) , в) ; г) ;

13) а) ; б) , в) ; г) ;

14) а) ; б) , в) ; г) ;

15) а) ; б) , в) г)

16) а) ; б) , в) ; г) ;

17) а) ; б) , в) ; г) ;

18) а) ; б) , в) ; г) ;

19) а) ; б) , в) ; г) ;

20) а) ; б) , в) ; г) ;

21) а) ; б) , в) ; г) ;

22) а) ; б) , в) ; г) ;

23) а) ; б) , в) ; г) ;

24) а) ; б) , в) ; г) ;

25) а) ; б) , в) г)

Задание 2. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками следующих функций:

1) а) ; б)

2) а) (x³0) ; б) ,

3) а) ; б)

4) а) ; б)

5) а) ; б)

6) а) ; б)

7) а) ; б)

8) а) ; б)

9) а) ; б)

10) а) ; б)

11) а) ; б)

12) а) ; б)

13) а) ; б)

14) а) ; б)

15) а) ; б)

16) а) ; б)

17) а) ; б)

18) а) ; б)

19) а) ; б)

20) а) ; б)

21) а) ; б)

22) а) ; б)

23) а) ; б)

24) а) ; б)

25) а) ; б)

Литература

Основная литература

1. Высшая математика для экономистов: Учебное пособие для вузов/Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Под ред. Проф. Кремера Н.Ш. – М.:Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. – 439 с.

2. Шипачев В.С. Высшая математика. Учеб. Для вузов. - 3-е изд., стер. - М.: Высш.школа. 1996. - 479 с.

3. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч.1. - М.: Высш. шк., 1986.

4. Справочник по математике для экономистов /В. Е. Барбаумов, В. И. Ермаков, Н. Н. Кривенцова и др.; Под ред. В. И. Ермакова. – 2-е изд., перераб. И доп. – М.: Высш. Шк., 1997. – 384 с.

Дополнительная литература

1. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. В 2-х частях. Ч. I. Высшая школа, 1982.

2. Бронштейн И.Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. - М.: Наука, 1986.