Интегрирование рациональных функций

Рациональной функцией называется функция, равная отношению двух многочленов:

(1)

где n, m - целые положительные числа;

Если m < n, то называется правильной дробью, если m ³ n - неправильной дробью.

Всякую неправильную дробь путем деления числителя на знаменатель можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби:

где - многочлены; - правильная, дробь; l < n.

Так как всякий многочлен легко интегрируется, то интегрирование рациональных функций сводится к интегрированию правильных дробей. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать правильные рациональные функции .

Интегрирование правильных рациональных дробей начинают с разложения их на простейшие рациональные дроби.

Простейшей дробью называется дробь одного из следующих четырех типов:

1). ; 2). ; 3). ; 4).

где A, M, N, a, p, q – постоянные числа; h ³2 и h – целое; .

Покажем схему нахождения интегралов от простейших рациональных дробей:

где

Аналогичные приемы используются при интегрировании простейших дробей четвертого типа. При этом задача отыскания интеграла четвертого типа сводится к отысканию интеграла следующего вида

,

где ; , который может быть найден с помощью рекуррентной формулы понижения степени знаменателя

Таким образом, всякая простейшая рациональная дробь может быть проинтегрирована в элементарных функциях.

Известно, что всякий многочлен с действительными коэффициентами на множестве действительных чисел может быть представлен в виде

, (2)

где - действительные корни многочлена кратностей , а ;

Всякая правильная рациональная дробь (1) со знаменателем, представленным в виде (2), можно разложить в сумму простейших рациональных дробей типа 1)-4). В данном разложении каждому корню кратности многочлена (множителю ) соответствует сумма дробей вида

(3)

Каждой паре комплексно-сопряженных корней кратности многочлена (множителю ) соответствует сумма элементарных дробей

(4)

Для вычисления значений A, М, N в разложении функции R(x) на сумму простейших рациональных дробей часто используют метод не­определенных коэффициентов, суть которого заключается в следующем. С учетом формул (3), (4) данную дробь R(x) представим в виде суммы простейших рациональных дробей с неопределенными коэффициентами А, М, N. Полученное равенство является тождеством. Поэтому, если привести все дроби к общему знаменателю в числителе получим многочлен степени (n - 1), тождественно равный многочлену , стоящему в числителе выражения (1). Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х в этих многочленах, получим систему n уравнений для определения n неизвестных коэффициентов А, М, N (с индексами).

В некоторых случаях с целью упрощения вычислений можно воспользоваться следующим соображением. Так как многочлены и тождественно равны, то их значения равны при любых числовых значениях х. Придавая х конкретные числовые значения, получаем систему уравнений для определения коэффициентов. Такой метод нахождения неизвестных коэффициентов называется методом частных значений. Если значения х совпадают с действительными корнями знаменателя, получаем уравнение с одним неизвестным коэффициентом.

Таким образом, всякая рациональная функция в принципе может быть проинтегрирована указанным выше способом.

В заданиях 3 и 5 необходимо найти интегралы от рациональных функций.

Задание 3. Найти неопределенный интеграл. Результат интегрирования проверить дифференцированием

a). , b). , c). .

Решение: Во всех примерах задания 3 подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью, так как степень многочлена стоящего в числителе больше или равна степени многочлена стоящего в знаменателе. Путем деления числителя на знаменатель выделим целую часть рациональной дроби и правильную рациональную дробь.

Задание 3 a). .

Таким образом . Используя свойство 5⁰, разбиваем исходный интеграл на три интеграла. Первые два являются табличными , где , для первого интеграла , для второго - . Третий интеграл сводится к табличному , где , при помощи внесения под знак дифференциала функции .

Проверим полученный результат. Продифференцируем

Таким образом, производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

Задание 3 b). .

Путем деления числителя на знаменатель выделим целую часть рациональной дроби и правильную рациональную дробь. Разобьем полученный интеграл на два интеграла. Первый является табличным , где , . Второй интеграл является простейшей правильной рациональной дробью третьего типа. Первый этап (выделение полного квадрата в знаменателе) опускается. Подынтегральную функцию разбиваем на сумму двух дробей, после чего второй интеграл представляется в виде суммы двух интегралов. Первый интеграл сводится к табличному , где , при помощи внесения под знак дифференциала функции , второй интеграл является табличным , где , .

Проверка найденного интеграла осуществляется аналогично тому, как это было сделано в пункте а).

Задание 3 c). .

Путем деления числителя на знаменатель выделим целую часть рациональной дроби и правильную рациональную дробь. Разобьем полученный интеграл на три интеграла. Первый и второй интегралы является табличным , где ; для первого интеграла , для второго - . Третий интеграл - табличный , где , . Тогда

Проверка найденного интеграла осуществляется аналогично тому, как это было сделано в пункте а).

Задание 5. Найти неопределенный интеграл. Результат интегрирования проверить дифференцированием

a). , b). .

Решение: Во всех примерах задания 5 подынтегральная функция является рациональной дробью. Для интегрирования их воспользуемся разложением подынтегральных дробей на сумму простейших.

Задание 5 a). .

Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, так как степень многочлена стоящего в числителе ( ) меньше степени многочлена стоящего в знаменателе ( ). Разложим знаменатель подынтегральной функции на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения Тогда . Согласно формуле (3), в разложении правильной дроби на простейшие каждому множителю знаменателя вида соответствует слагаемое . Поэтому в данном случае имеем

Приведя правую часть разложения на сумму простейших дробей к общему знаменателю, и приравняв числители дробей, получим тождество

Коэффициенты A, B, C определим, например, с помощью метода частных значений (подставим одни и те же значения x в правую и левую часть тождества):

Подставим в тождество. Получим , так как .

Аналогично при получим: ; при получим: .

Таким образом, получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными

Подставим найденные коэффициенты в разложение подынтегральной функции на простейшие дроби, получим

Замечание: результат интегрирования можно оставить в виде суммы логарифмических функций.

Результат интегрирования проверим дифференцированием.

Таким образом, производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

Задание 5 b). .

Так как подынтегральная функция является неправильной дробью (степень многочлена в числителе ( ) больше, чем степень многочлена знаменателя ( )), то путем деления числителя на знаменатель можно представить ее в виде суммы целого многочлена и правильной рациональной дроби. Удобно раскрыть скобки в знаменателе и поделить «уголком» числитель на знаменатель.

Так как и , то

Тогда исходный интеграл примет вид

Вычислим отдельно оставшийся интеграл. Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, которая может быть разложена на сумму трех простейших дробей (аналогично тому, как это было сделано в пункте a)).

Тогда окончательно получим

Проверка найденного интеграла осуществляется аналогично тому, как это было сделано в пункте а).