Простейшие методы интегрирования

А). Метод разложения основан на разложении подынтегральной функции на сумму функций, каждая из которых является табличной (в частности, используя свойство 4⁰).

Б). Метод замены переменной состоит в следующем. Вводится новая переменная с помощью соотношения . Тогда и исходный интеграл преобразуется следующим образом

,

где - дифференцируемая функция. Затем находится интеграл из правой части (если это возможно) и осуществляется возврат к исходной переменной x, используя соотношение , полученное из соотношения , выражая t через x. При интегрировании некоторых функций часто целесообразно осуществлять переход к новой переменной с помощью подстановки , а не .

В). Метод внесения функции под знак дифференциала состоит в том, что новая переменная не выписывается явно. Для подынтегрального выражения выделяется некоторая функция , дифференциал от которой входит составной частью в подынтегральное выражением , а оставшиеся часть является функцией от , т.е. . Тогда исходный интеграл преобразуется к виду:

Полученный интеграл может оказаться существенно проще, а в некоторых случаях свестись к табличным.

В заданиях 1 и 2 необходимо найти неопределенный интеграл, используя методы: разложения, замены переменной (или метод внесения функции под знак дифференциала) и таблицы неопределенных интегралов.

Задание 1. Найти неопределенные интегралы. Результат интегрирования проверить дифференцированием

a). , b). ,

c). , d). .

Решение: Для нахождения неопределенных интегралов можно воспользоваться как методом замены переменной, так и методом внесения под знак дифференциала. В первом случае, т.е. a), покажем оба метода. Остальные примеры будем решать только одним способом.

Задание 1 a). .

1. Воспользуемся методом замены переменной. Введем новую переменную t по формуле . Тогда или . Тогда

После замены переменной воспользовались свойством 4⁰ неопределенного интеграла: постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла, и так как , то пришли к табличному интегралу , где и .

2. Решим этот пример методом внесения под знак дифференциала. Замечая, что и то, что подынтегральное выражение можно представить в виде

,

внесем под знак дифференциала . Для этого выпишем дифференциал этой функции . Тогда

После внесения под знак дифференциала функции пришли к табличному интегралу , где и .

3. Результат интегрирования проверим дифференцированием. Для этого найдем производную

Таким образом, производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, то есть свойство 1⁰ неопределенного интеграла выполнено и, следовательно, интеграл от данной функции найден, верно.

Задание 1 b).

Воспользуемся методом замены переменной. Введем новую переменную t по формуле . Тогда или . Тогда

После замены переменной воспользовались свойством 4⁰ неопределенного интеграла , и так как , то пришли к табличному интегралу , где .

Выполним проверку результата. Найдем производную

.

Таким образом, производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

Задание 1 c).

Воспользуемся методом замены переменной. Введем новую переменную t по формуле . Тогда или . Тогда

После замены переменной воспользовались свойством 4⁰ неопределенного интеграла , и так как , то пришли к табличному интегралу 1) , где .

Выполним проверку результата. Найдем производную

Таким образом, производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

Задание 1 d).

Воспользуемся методом внесения под знак дифференциала. Внесем под знак дифференциала функцию . Так как

,

то получим

После внесения под знак дифференциала функции пришли к табличному интегралу , где и .

Выполним проверку результата. Найдем производную

Таким образом, производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

Задание 2. Найти неопределенный интеграл. Результат интегрирования проверить дифференцированием

a). , b). , c). .

Решение: При выполнении задания 2 можно предварительно разбить подынтегральное выражение на сумму двух выражений и, применив свойство 5⁰ неопределенных интегралов, получить два неопределенных интеграла. Как правило, один из них является табличным, а другой, используя метод замены переменной или метод внесения под знак дифференциала, к нему приводится.

Задание 2 a). .

Представим подынтегральную функцию в виде суммы двух дробей и, используя свойство 5⁰, запишем интеграл в виде суммы двух интегралов. Для каждого из полученных интегралов применим метод внесения под знак дифференциала.

Приходим к табличным интегралам: 9) , где , и 2) , где .

Выполним проверку результата. Найдем производную

Таким образом, производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

Задание 2 b). ,

Исходный интеграл представляем в виде суммы двух интегралов и, сделав замены переменных , придем к двум табличным интегралам: , где , и , где , . Тогда

Выполним проверку результата. Найдем производную

Таким образом, производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

Задание 2 c). .

Исходный интеграл представляем в виде суммы двух интегралов. Для первого интеграла, внеся под знак дифференциала , получим табличный интеграл , где и . Второй интеграл является табличным , где и .

Выполним проверку результата. Найдем производную

Таким образом, производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.