Производная функции.

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Производная функции.

1. Найдите производную функции:

.

1. Вычислите , если .
2. Вычислите , если .
3. Решите уравнение , если .
4. Укажите наибольшее целое решение неравенства , если .
5. Укажите наименьшее целое решение неравенства , если .
6. Найдите абсциссу точки графика функции , касательная в которой в которой параллельна (или совпадает) с прямой .
7. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в его точке с абсциссой (-1).
8. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в его точке с абсциссой 0.
9. Какой угол образует с осью абсцисс касательная к графику функции в начале координат? В ответе укажите градусную меру этого угла.
10. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции , проведенной в точке с абсциссой 1.
11. Найдите точку графика функции , касательная в которой оси абсцисс. В ответе укажите сумму координат этой точки.
12. Напишите уравнение касательной к графику функции , параллельной прямой . В ответе укажите площадь треугольника, образованного этой касательной и осями координат.
13. Напишите уравнение касательной к графику функции , параллельной оси абсцисс. В ответе укажите расстояние от точки (0;0) до этой касательной.
14. Напишите уравнение касательной к графику функции , проходящей через точку . В ответе укажите площадь треугольника, образованного этой касательной и осями координат.
15. При каких значениях прямая , является касательной к параболе .
16. Прямая, проходящая через начало координат, касается графика функции в точке (-2;10). Найдите .

Найти :

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

2

Найти :

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71.

72.

73.

74.

75.

76.

77.

78.

79.

80.

81.

82.

83.

84.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71.

72.

73.

74.

75.

76.

3

Найти производную «n-го» порядка (n>1).

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

1.

2.

1.

1.

2.

Найти производные следующих функций:

Алгебраические функции

1.

2.

3.

4.

11.

12.

13.

14.

5. 15.

16.

6. 17.

7. 18.

8. 19.

9. 20.

10.

Тригонометрические функции

1. 10.

2. 11.

3. 12.

4. 13.

5. 14.

6. 15.

7. 16.

8. 17.

9. 18.

Логарифмические и показательные функции

1. 7.

2. 8.

3. 9.

4. 10.

5. 11.

6. 12.

Найти производную высших порядков

1.

2.

3.

4.

5.

6.

1.

2.

3.

Найти производную и дифференциал функции

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Приложение производной к решению геометрических и физических задач

1) Написать уравнение касательной и нормали к параболе в точке с абсциссой

.

2) Под каким углом наклоняется касательная, проведенная к кривой в точке пересечения кривой с осью ОУ?

3) Дана кривая . Найти угол наклонения между касательной в точке к положительному направлению оси ОХ.

4) Найти угол между двумя кривыми и в точке их пересечения.

5) Составить уравнение касательных, проведенных к параболе в точке ее пересечения с осью ОХ..

6) В какой момент времени скорость тела движущегося по закону окажется равной 27 единиц?

7) Точка движется прямолинейно по закону . Найти скорость и ускорение движения для моментов времени (S – в сантиметрах, t – в секундах).

8) Тело производит колебательные движения по закону . Найти скорость и ускорение движения в момент времени (A и - const).

9) К линии и в точке с абсциссой проведена касательная. Напишите ее уравнение.

10) Найдите скорость и ускорение точки, движущейся прямолинейно по закону при .

11) Найдите скорость и ускорение тела, которое производит колебательное движение по закону при .

12) Найдите скорость изменения популяции бактерий, если в момент времени она насчитывает особей.

13) Написать уравнение касательной к параболе в точке с абсциссой .

Используя правило Лопиталя, найти следующие пределы

1. 9.

2. 10.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

7. 15.

8.

Найдите интервалы возрастания и убывания следующих функций

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5.

Найдите наименьшее и наибольшее значение следующих функций

1. на отрезке

2. на отрезке

3. на отрезке

Найдите асимптоты функции

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Исследовать функцию и построить ее график

1.

2.

3.

4.

5.

Найдите промежутки выпуклости

Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба кривой

1.

2.

3.

4.

Образцы исследования функций

1.

1) D(y)=R , E(y)=R

2)

Функция является нечётной

3) Функция не является периодической.

4) Нули функции:

или

(0;0);

5) Монотонность функции. Экстремумы функции.

x=0 ,

x
y`	+		-		-		+
y						-0,007

Max min

6) Выпуклость графика. Точки перегиба.

x=0 или

7) Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет, т.к. функция непрерывна на всей области определения.

Наклонных асимптот нет, т.к.

8) Построение графика

2.

1).

2). и

Функция общего вида

3). Не является периодической.

4). Нули функции: y=0 если x²-x=0

Пересечение с осью OX: x(x-1)=0; x₁=0 x₂=1

(0; 0), (1; 0).

5). Монотонность. Точки экстремума.

если 2x²+2x-1=0

2x²+2x-1=0

D=4+8=12

x
y`	+		-	-	-		+
y				-		-0,13

max min

6). Точки перегиба.

не существует при

x
	-	-	+
y		-

т. перегиба нет

7). Асимптоты.

Вертикальная асимптота

Наклонная асимптота y=kx+b

наклонная асимптота

8). Построение графика

3.

1). D(y)=R

2).

Функция общего вида

3). Не является периодической.

4). y=0, если x=-1

- точки пересечения с осями.

x=0 →

5).

Если x = -2 крит. точка

y` − +

x

-2

(-∞; -2]; {-2;- ∞)

;

6).

, если x=-3

− +

x

-3

-т. перегиба

7). Вертикальной асимптоты нет.

b = ∞ На +∞ асимптоты нет.

При x → -∞ есть горизонтальная асимптота y=0.

8). Построение графика