Интегрирование некоторых классов функций

Интегрирование рациональных функций.

Опр. Рациональной дробью называется функция, которую можно записать в виде отношения двух многочленов: . Если эта дробь неправильная, т. е. степень многочлена не меньше степени многочлена , то можно выполнить деление с остатком и представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби.

В курсе алгебры доказывается теорема, что всякая правильная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей вида

,

где A, M, N, a, p, q – действительные числа.

Например, рациональная дробь может быть представлена согласно последней теореме суммой простейших дробей

.

Неизвестные коэффициенты разложения А, В, С находят приемом, называемым методом неопределенных коэффициентов: приводят правую часть к общему знаменателю и приравнивают числители

,

откуда .

Таким образом, искомое разложение на простейшие дроби имеет вид

,

так что интеграл от этой функции представляется в виде суммы интегралов, которые легко находятся

.

Пример1. Найти неопределенный интеграл .

В данном примере подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью, так как степень многочлена стоящего в числителе больше или равна степени многочлена стоящего в знаменателе. Путем деления числителя на знаменатель выделим целую часть рациональной дроби и правильную рациональную дробь.

.Таким образом . Используя свойство, разбиваем исходный интеграл на три интеграла. Первые два являются табличными , где , для первого интеграла , для второго - . Третий интеграл сводится к табличному , где , при помощи внесения под знак дифференциала функции .

Интегрирование иррациональных функций. В ряде случаев интегралы от иррациональных функций при помощи соответствующих подстановок (замены переменной) рационализируются, т. е. сводятся к интегралам от рациональных функций.

а) Для интеграла , где a, b, c, d – вещественные числа, рационализирующей является подстановка , где

п – наименьшее общее кратное чисел

б) Для дифференциального бинома , где - рациональные числа, a и b – постоянные, отличные от нуля выделяют 3 случая:

1) если р – целое число, то бином раскладывается на слагаемы по формуле бинома (возможно использование формул сокращенного умножения);

2) когда - целое число, применяют подстановку , где s – знаменатель дроби р;

3) когда - целое число, применяют подстановку .

Пример 1.

Найти интеграл .

В данном примере , т.е. a=1, b=9, c=0, d=1, .

Применим подстановку .

= = =

=

Пример 2.

Найти интеграл .

В данном случае . Применим подстановку .

Последовательно выразим:

Подставляя найденные выражения в интеграл, получаем:

=

Интегрирование тригонометрических функций. Все тригонометрические функции рационально (т. е. с помощью одних только арифметических действий) выражаются через синус и косинус; следовательно, всякая функция, рационально зависящая от тригонометрических функций, может быть преобразована в соответствующую рациональную функцию только от синуса и косинуса. Рассмотрим правило интегрирования функций типа

а). Универсальная тригонометрическая подстановка

Интеграл вида с помощью универсальной тригонометрической подстановки приводится к виду

, где – другая рациональная функция аргумента t.

При использовании универсальной тригонометрической подстановки элементы подынтегрального выражения принимают вид:

Пример 1. Найти интеграл .

Подынтегральная функция является рациональной функцией от и . Применим подстановку , при этом .

Подынтегральное выражение примет вид:

Интегрируем

= .

б) Интегралы типа

Для нахождения таких интегралов используются следующие приемы:

1) подведение под знак дифференциала (если один из показателей т или п нечетны);

2) подстановка (если - четное отрицательное целое число);

3) формулы двойного аргумента или формулы понижения порядка (если т и п – целые неотрицательные целые числа):

, ,

( ),

Пример 2.

Пример 3.

=

Пример 4.

в) Интегралы типа , , вычисляются с использованием тригонометрических преобразований

,

,

Пример 5. Найти .

Так как ,

то