Функции для решения дифференциальных уравнений

В систему MathCAD введена возможность решения дифференциальных уравнений и систем с такими уравнениями в численном виде. Эту возможность трудно переоценить, так как многие серьезные научно-технические задачи (особенно относящиеся к анализу динамических систем и к их математическому моделированию) базируются на численных методах решения систем дифференциальных уравнений.

Нелинейные дифференциальные уравнения и системы с такими уравнениями, как правило, не имеют аналитических методов решения, и здесь особенно важна возможность их решения численными методами. В большинстве случаев желательно представление решений в графическом виде, что и позволяет MathCAD.

Для решения дифференциальных уравнений (систем) различного порядка и различными методами в MathCAD введены 13 встроенных функций: rkadapt, Rkadapt, rkfixed, Bulstoer, bulstoer, bvalfit, multigird, relax, sbval, Stiffb, stiffb, Stiffr и stiffr. Назначение и описание аргументов этих функций даны в приложении.

В функцию rkfixed заложен широко распространенный метод решения дифференциальных уравнений – метод Рунге-Кутта. Несмотря на то, что это не самый быстрый метод, функция rkfixed почти всегда справляется с поставленной задачей. Однако есть случаи, когда лучше использовать более сложные методы. Эти случаи попадают под три широкие категории: система может быть жесткой (Stiffb, Stiffr), функции системы могут гладкими (Bulstoer) или плавными (Rkadap). Нередко приходится пробовать несколько методов на одном дифференциальном уравнении (на одной системе), чтобы определить, какой метод лучше. Как известно, что решение гладкое, используется функция Bulstoer, куда заложен метод Бурлиш-Штера, а не Рунге-Кутта, используемый функцией rkfixed. В этом случае решение будет точнее. Можно решить задачу более точно (более быстро), если уменьшить шаг там, где производная меняется быстро, и увеличить шаг там, где она ведет более спокойно. Для этого предусмотрена функция Rkadap. Но, несмотря на то что она при решении дифференциального уравнения использует непостоянный шаг, функция Rkadap представит ответ для точек, находящихся на одинаковом расстоянии, заданном пользователем. Система дифференциальных уравнений, записанная в матричной форме y=A×x, где A – почти вырожденная матрица, называется жесткой. При решении жестких систем следует использовать одну из двух встроенных функций, разработанных специально для таких случаев: Stiffb и Stiffr. Они используют метод Булирш-Штера (b) или Розенброка (r). Функции, начинающиеся со строчной буквы, дают решения только для конечной точки. Для решения двухточечных краевых задач предназначены функции: sbval и bvalfit. Для решения дифференциальных уравнений Пуассона (в частных производных второго порядка) и уравнений Лапласа в систему введены следующие функции: bvalfit, multigird, relax, sbval. Большое число примеров на решение дифференциальных уравнений с описанными функциями дается в подсказках QuickSheets, размещенных в центре ресурсов.

Пример решения обыкновенного дифференциального уравнения