Теорема 1. Если функции 
и 
дифференцируемы в точке х, то в этой точке дифференцируема их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых. 
Доказательство.
Теорема 2. Если функции и дифференцируемы в точке х, то в этой точке дифференцируема их разность, причем производная разности равна разности производных. 
Доказательство аналогично.
Замечание: Теоремы справедливы для любого конечного числа слагаемых.
Теорема 3. Если функции и дифференцируемы в точке х, то в этой точке дифференцируемо их произведение, причем 
.
Доказательство.
Рассмотрим функцию 
. Найдем 
.
1. х, 
, 
2. Дадим х приращение 
, тогда u, v, y получат приращения 
, 
, 
, то есть 
, 
, 
. Отсюда:
3. 
;
4. 
;
5. 
, что и требовалось доказать.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной 
: 
.
Замечание 1. Теорему 2 можно доказать с помощью теоремы 1 и следствия теоремы 3: 
.
Замечание 2. Формула производной произведения распространяется на любое конечное число сомножителей. 
Пример: 
Теорема 4. Если функции и дифференцируемы в точке х и 
, то в этой точке дифференцируемо их частное, причем 
.
Без доказательства.
§7 Производные функций y=tgx; y=ctgx.
1) y=tgx;
2) 
– доказать самостоятельно.
