Выявление переполнения основано на использовании понятий переносов, возникающих при выполнении операций сложения. Переполнение происходит только в том случае если переносы в знаковый разряд и из знакового разряда различны.
Пример 2. [ x ]3 = 1.0101 , [ y ]3 = 1.0011 , [x +y ]3 = (1)0.0010
В первом примере перенос в знаковый разряд равен 1, а из знакового равен 0. Во втором примере перенос в знаковый разряд равен 0, а из знакового равен1. Это свидетельствует о переполнении разрядной сетки.
Операция вычитания.
Вычитание целых чисел произвольного знака можно свести к операции алгебраического сложения x - y = x + ( -y).
Для дополнительного и обратного кода получим
[ x]3 – [y ]3 = [ x]3 + [ y ]3 +1 = [ x – y ]3 [ x]2 – [y ]2 = [ x]2 + [ y ]2 = [ x – y ]2 ,
где [ y ] - означает инвертирование кода.
Для вычитания в сумматоре должна быть предусмотрена как прямая, так и инверсная передача кодов исходных чисел.
Знак числа обычно кодируется двоичной цифрой, при этом код 0 означает знак + (плюс), код 1 — знак – (минус). Для алгебраического представления чисел, то есть для представления чисел с учетом их знака, в машинах используются специальные коды:
· прямой код числа;
· обратный код числа;
· дополнительный код числа.
При этом два последних кода позволяют заменить неудобную для компьютера операцию вычитания на операцию сложения с отрицательным числом.
Дополнительный код обеспечивает более быстрое выполнение операций, поэтому в компьютере применяется чаще именно он.
1. Прямой код числа N — [N]пр. Пусть N = a a a ... a;
· если N > 0, то [N]пр = 0, a a a ... a;
· если N < 0, то [N]пр = 1, a a a ... a;
· если N = 0, то имеет место неоднозначность: [0]пр = 0,0... или [0]пр = 1,0...
Обобщая результаты, получим:
Если при сложении оба слагаемых имеют одинаковый знак, то операция сложения выполняется обычным путем. Если при сложении слагаемые имеют разные знаки, то сначала необходимо выявить число большее по абсолютной величине, произвести из него вычитание меньшего числа, а разности присвоить знак большего числа.
Операции умножения и деления в прямом коде выполняются обычным образом, но знак результата определяется по совпадению или не совпадению знаков, участвовавших в операции чисел.
Операцию вычитания в этом коде нельзя заменить операцией сложения с отрицательным числом, поэтому возникают сложности, связанные с заемом значений из старших разрядов уменьшаемого. В связи с этим прямой код в компьютере почти не применяется.
2. Обратный код числа N — [N]обр.
Символ а* означает величину, обратную а (инверсию а), то есть если а = 1, то а* = 0, и наоборот.
· если N > 0, то [N]обр = [N]пр = 0, a a ... a,
· если N < 0, то [N]обр = 1, a* a* ... a*,
· если N = 0, то неоднозначность, [0]обр = 0,00 ... 0 или [0]обр = 1,11...1.
Для того чтобы получить обратный код отрицательного числа, необходимо все цифры этого числа инвертировать, то есть в знаковом разряде поставить 1, во всех значащих разрядах нули заменить единицами, а единицы нулями.
Например, число N = 0,1011, [N]обр = 0,1011. Число N = –0,1011, [N]обр = 1,0100. В случае, когда N < 0, [N]обр = 10 – 1·10–n + N, то есть [N]обр = 1,1111 + N.
Обобщая результаты, получим
3. Дополнительный код числа N — [N]доп
· если N >= 0, то [N]доп = [N]пр = 0, a a ... a,
· если N <= 0, то [N]доп = 1, a* a* ... a* + 0,0 0 ... 1.
Для того чтобы получить дополнительный код отрицательного числа, необходимо все его цифры инвертировать (в знаковом разряде поставить единицу, во всех значащих разрядах нули заменить единицами, а единицы нулями) и затем к младшему разряду прибавить единицу. В случае возникновения переноса из первого после запятой разряда в знаковый разряд, к числу следует прибавить единицу в младший разряд.
Например, N = 0,1011, [N]доп = 0,1011; N = –0,1100, [N]доп = 1,0100; N = –0,0000, [N]доп = 10,0000 = 0,0000 (1 исчезает). Неоднозначности в изображении 0 нет. Обобщая, можно записать:
СОВЕТ. Эмпирическое правило: для получения дополнительного кода отрицательного числа необходимо все символы этого числа инвертировать, кроме последней (младшей) единицы и тех нулей, которые за ней следуют.
