Методические указания

Для расчёта электрических полей в диэлектриках вводят вспомогательную величину – вектор электрического смещения (электрической индукции) . В курсе общей физики обычно рассматриваются однородные и изотропные диэлектрики, имеющие форму, при которой ограничивающие их поверхности совпадают с эквипотенциальными поверхностями внешнего поля (перпендикулярны силовым линиям поля). Если такой диэлектрик вносят в электрическое поле постоянного заряда, то вектор электрического смещения останется без изменения во всех точках поля как внутри, так и вне диэлектрика, а вектор напряжённости электрического поля уменьшится в раз в пространстве, занятом диэлектриком, и останется без изменения вне диэлектрика.

При расчёте поля в диэлектриках целесообразно использовать два метода.

Первый метод основан на принципе суперпозиции. В этом случае рассчитывают сначала поле свободных зарядов , затем – поле связанных зарядов . После этого находят напряжённость поля в диэлектрике по формуле

.

По второму методу сначала находят вектор электрического смещения (по теореме Гаусса), затем, используя формулу , определяют напряженность электрического поля в диэлектрике.

При расчёте электрического поля и вычислении емкости бывает полезен вспомогательный прием, называемый методом зеркальных изображений.

Этот метод основан на следующем положении: если в электрическом поле заменить эквипотенциальную поверхность проводником той же формы и создать на этом проводнике потенциал, равный потенциалу рассматриваемой эквипотенциальной поверхности, то электрическое поле не изменится.

На рис 4.1. показано электрическое поле двух точечных зарядов и , расположенных на расстоянии друг от друга.

Плоскость АА делит электрическое поле на две равные части.

Плоскость АА везде перпендикулярна к силовым линиям поля, т. е. является эквипотенциальной поверхностью. Если в АА поместить неограниченную проводящую плоскость, то поле между зарядом и этой плоскостью не изменится и будет совпадать с полем двух точечных зарядов и . Заряд является зеркальным изображением заряда в проводящей плоскости, поэтому электрическое поле между точечным зарядом и бесконечной плоскостью совпадает с полем, которое создается данным зарядом и его зеркальным изображением в проводящей плоскости. Следовательно, действие проводящей плоскости с ее индуцированными зарядами можно заменить действием точечного заряда, являющегося зеркальным изображением данного заряда в проводящей плоскости.

Примеры решение задач

Задача 1.Металлическому изолированному шару радиусом см сообщили заряд , после чего поверхность шара покрыли слоем диэлектрика толщиной см. Чему равна плотность наведенных зарядов на внутренней и внешней поверхностях слоя диэлектрика и полный наведенный заряд. Диэлектрическая проницаемость диэлектрика ?

Решение.

Вектор электрического смещения в любой точке диэлектрика равен, согласно теореме Гаусса,

, где – радиус гауссовой поверхности,

.

Вектор связан с вектором поляризации соотношением:

, откуда .

Нормальная составляющая вектора поляризации численно равна плотности наведённых зарядов, т. е. .

Следовательно, для внутренней поверхности диэлектрика имеем:

,

для внешней:

.

Наведённый заряд один и тот же и на внутренней и на внешней поверхности слоя диэлектрика:

.

Выразим физические величины в системе СИ: м, Кл, м, .

После подстановки числовых данных получаем: , , Кл.

Задача 2.Между пластинами плоского конденсатора помещено два слоя диэлектрика – слюдяная пластинка толщиной мм и парафин толщиной мм. Определите: 1) напряжённость электростатических полей в слоях диэлектрика; 2) электрическое смещение, если разность потенциалов между пластинами конденсатора В.

Решение.

Напряжённость поля и разность потенциалов связаны соотношением:

. (1)

Разбив весь путь интегрирования на две части, соответствующие толщинам двух слоёв диэлектриков, и учитывая, что в пределах каждого слоя поле однородно, получим

. (2)

Электрическое смещение в обоих слоях диэлектриков имеет одно и тоже значение, поэтому на основании формулы (4.5) запишем:

, (3)

откуда или . (4)

Подставим (4) в (2), получаем

. (5)

Из формулы (5) следует: . (6)

Выразим величины и системе СИ: м, м.

Произведя вычисления по формулам (6), (4) и (3), получаем:

кВ/м; кВ/м; .

Задача 3.Стеклянный толстостенный полный шар равномерно заряжен по объёму с плотностью . Внутренний радиус шара см, наружный см. Найти распределение потенциала в стекле, а также вычислить потенциалы наружной, внутренней поверхностей и центра шара.

Решение.

Метод суперпозиции. Найдем распределение потенциала в стекле, т. е. потенциал в произвольной точке А (рис. 4.2), удалённой от центра шара на расстояние . Поле в стекле создаётся объёмным зарядом диэлектрика и связанным зарядом на внешней поверхности шара.

. (2)

Для определения потенциала поля в точке А, созданного объёмным зарядом , воспользуемся методом дифференцирования и интегрирования. Для этого разделим сферический слой на тонкие концентрические сферические слои малой толщины , заряд которых можно считать элементарным, , (3)

где – радиус слоя.

Результирующий потенциал в точке А по принципу суперпозиции равен сумме потенциалов полей, созданных элементарными зарядами. Элементарный потенциал в точке А будет вычисляться по разным формулам в зависимости от того, какой является точка А для этой сферы – внутренней или внешней.

Для учёта этого обстоятельства проведём через точку А сферу радиуса с центром в точке (рис. 4.2). Она разделит шаровой слой на два подслоя: подслой с радиусами и и подслой с радиусами и . В первой из них точка А – внешняя, а во втором – внутренняя. Выделим в первом подслое элементарный сферический слой толщиной (рис. 4.3). Его элементарный потенциал в точке А будет:

. (4)

Эту формулу можно обосновать тем, что потенциал в точке А создаётся свободным зарядом и связанным зарядом , расположенным на сфере радиуса . Результирующий потенциал

.

Рис. 4.3 Рис. 4.4

Интегрируя (4) по в пределах от до находим потенциал , созданный в точке зарядом первого подслоя:

. (5)

Аналогично элементарный потенциал в точке А, созданный сферическим слоем толщины во втором подслое, будет:

, (6)

где – расстояние от точки А до сферического слоя.

Интегрируя (6) по в пределах от до и, учитывая соотношение (3), получаем:

. (7)

Потенциал , созданный в точке А связанным зарядом , составляет

, (8)

(с учётом формул (1) и (2)).

Общий потенциал в точке

.

Величина не зависит от расстояния , поэтому

. (9)

Используя формулу (9), определяем значения потенциала на внешней поверхности шара и на его внутренней поверхности:

; (10)

. (11)

Потенциал в центре шара равен потенциалу на внутренней поверхности, т. е. .

Метод Гаусса. По теореме Гаусса .

Применяем теорему для поверхности, проведённой через точку А:

, (12)

откуда . (13)

Напряжённость поля в данной точке А:

. (14)

Напряжённость поля и потенциал связаны соотношением , откуда ,

. (15)

Интегрируя (15) с учётом соотношения (14), получаем:

. (16)

Постоянную интегрирования найдём из условия непрерывности потенциала и того, что потенциал на внешней поверхности шара определяется только свободным зарядом :

. (17)

Из соотношений (16) и (17) следует:

,

что совпадает с величиной .

Таким образом, .

Задача 4.На расстоянии от большой проводящей пластины находится точечный электрический заряд . С какой силой действует на него пластина?

Решение.

Под действием электрического поля заряда в пластине происходит разделение зарядов (рис. 4.5). Считая пластину бесконечно большой, электрическим полем положительных зарядов можно пренебречь.

Отрицательный заряд на пластине распределяется так, что его электрическое поле и поле точечного заряда компенсируют друг друга в пластине (в проводнике электростатическое поле отсутствует).

Для решения задачи воспользуемся методом зеркальных изображений. Поместим по другую сторону пластины на расстоянии от неё заряд . Он является “зеркальным изображением” точечного заряда .

Положительный индуцированный заряд распределится по пластине таким же образом, как и отрицательный заряд на другой стороне пластины.

Электрические поля, существующие слева и справа от пластины, перпендикулярны её поверхностям в каждой точке. Наличие слева от пластины заряда не приводит к изменению электрического поля справа от пластины.

Если расстояние от точечного заряда до пластины значительно превышает её толщину, то пластину можно считать бесконечно тонкой. Электрическое поле индуцированных зарядов вне пластины отсутствует: потенциал пластины равен нулю, так как она расположена на середине отрезка, соединяющего заряды и , перпендикулярно к нему.

Сила взаимодействия двух точечных зарядов определяется по закону Кулона:

,

где , тогда .