Методические указания

Напряжённость – важная характеристика электрического поля. Она определяется зарядом – источником данного поля и не зависит от пробного заряда, внесённого в данное поле. Важно определить правильно, какой заряд в условии является источником, а какой – пробным, потому что от этого зависит выбор формулы напряжённости электрического поля.

Если в условии говорится о том, что вокруг заряда создано электрическое поле или в поле заряда вносят другой заряд, то заряд – источник поля. А если говорится, что заряд вносят в электрическое поле или на заряд действует сила со стороны электрического поля, что заряд перемещается в электрическом поле, то в этом случае – пробный заряд.

В случае пробного заряда напряжённость поля определяется формулой (2.1). Если же – источник поля, то напряжённость зависит от размеров и формы заряда, от расстояния между зарядом и точкой, в которой определяется поле, от диэлектрических свойств среды, в которой поле создано. Если поле создано точечными зарядами, то пользуются формулами (2.2) и (2.3). Если поле создано зарядами, которые нельзя считать точечными, но они равномерно распределены по сферическим, цилиндрическим и плоским поверхностям, то применяют формулы (2.6)–(2.10).

Реальный цилиндр можно считать бесконечно длинным, если расстояние от точек, в которых определяется напряжённость поля, до оси цилиндра намного меньше, чем до концов цилиндра. Всякую плоскость можно считать бесконечной относительно точек, расстояние которых до плоскости значительно меньшие их расстояния до краёв плоскости.

Напряжённость поля бесконечной равномерно заряженной плоскости во всех точках окружающей её среды одинакова (формула (2.7)). Такое поле называется однородным.

Если заряд – источник – шар, то при использовании формулы (2.10) нужно помнить, что – расстояние между центром шара (рис. 2.1) и точкой, в которой определяется напряжённость.

, где – радиус шара;
– расстояние от поверхности шара до рассматриваемой точки (т. А).

Для определения напряжённости поля, созданного заряженным телом произвольной формы, необходимо его разбить на бесконечно малые элементы ( – элементы длины, поверхности, объёма соответственно), найти по формуле (2.2) напряжённость поля, созданного в данной точке каждым элементом, а затем просуммировать все элементарные напряжённости (по длине , по поверхности или по объёму ), учитывая их направления: .

В случае если все вектора имеют одинаковое направление, то геометрическое сложение заменяется алгебраическим: .

Если складываемые вектора имеют различные направления, то удобно представить вектор в виде суммы двух векторов

где , – проекции вектора на оси координат; , – единичные вектора (орты) осей.

Если поле обладает осевой симметрией и точка, в которой необходимо найти напряжённость поля, лежит на оси симметрии, вектор напряжённости результирующего поля всегда направлен вдоль оси симметрии поля.

Модуль вектора находится суммированием проекций элементарных векторов на это направление оси симметрии

или .

В случае, когда нельзя воспользоваться соображениями симметрии, находят проекции всех элементарных векторов на оси координат, затем их суммируют (интегрируют), получая проекции искомого на эти оси

, , ,

модуль вектора равен .

Если в условии задачи не говорится о среде, в которой взаимодействуют заряды, то подразумевается вакуум или воздух. В этом случае диэлектрическая проницаемость среды .

Примеры решения задач

Задача 1.Два точечных заряда нКл и нКл расположены на расстоянии см друг от друга (рис. 2.2). Найти напряжённость поля, созданного на расстояниях: а) см слева от первого заряда;
б) см справа от первого заряда; в) см справа от второго заряда.

Решение.

Заряд создаёт в точке поле, вектор напряжённости которого направлен от заряда, так как . Заряд создаёт в этой же точке (т.1) поле, вектор напряжённости которого направлен к заряду , потому что . По принципу суперпозиции полей результирующий вектор напряжённости поля в точке таков

. (1)

В скалярной форме _,(2)

где , . (3)

Следовательно,

. (4)

В точке 2 заряд создаёт поле, вектор напряжённости которого направлен также от заряда , заряд создаёт в той же точке поле напряжённостью . Вектор направлен к заряду . Результирующий вектор напряженности поля в т.2 равен

, (5)

или в скалярной форме , (6)

где , . (7)

Тогда

. (8)

В точке напряжённость поля, созданного зарядом , равна , а напряжённость поля заряда соответственно . Вектор направлен от заряда , а вектор – к заряду . Результирующий вектор напряжённости поля в т. 3:

, (9)

В скалярной форме , (10)

где , ; (11)

. (12)

Выразим в единицах СИ входящие в формулы (4), (8) и (12) величины:

; Кл; ,

; ; м.

Подставив эти значения и выполнив вычисления, найдём:

, , .

Величины и оказались отрицательными, это означает, что вектора и направлены противоположно выбранному положительному направлению оси , в то время как вектор сонаправлен с этим направлением.

Задача 2.Два точечных заряда и расположены на расстоянии друг от друга. Определите напряжённость поля, созданного ими в точке (рис. 2.3). Расстояния от зарядов и до точки равны соответственно и .

Решение.

Построим в точке векторы и , выбрав их направление с учётом знаков зарядов и . Применив правило параллелограмма, покажем вектор результирующего поля в точке .

По принципу суперпозиции полей . (1)

Для определения модуля можно применить теорему косинусов

, (2)

также можно найти по теореме косинусов из : ,

откуда или, учитывая данные из условия задачи,

. (3)

Напряжённость поля точечных зарядов и определяется по формулам

; (4)

. (5)

Тогда, подставив значения и из формул (4) и (5) и значение из (3) в выражение (2), получаем .

Задача 3.Частица массой , имеющая заряд , движется с начальной скоростью вдоль силовой линии однородного электрического поля напряжённостью (рис. 2.4). Какой путь она пройдёт за время, в течение которого скорость частицы увеличится в три раза? Среда – воздух. Принять, что заряд отрицательный.

Решение.

По условию задачи частица имеет отрицательный заряд и разгоняется электрическим полем, т. е. движется к положительным зарядам – источникам этого поля. Так как вектор всегда направлен от положительных зарядов – источников поля к отрицательным, то частица с зарядом движется навстречу линиям напряжённости. На частицу со стороны поля действует сила , согласно второму закону Ньютона.

Силу можно также определить по формуле . Тогда , откуда ускорение частицы будет , здесь – модуль заряда частицы.

Путь , пройденный частицей при ускоренном движении, находим из формулы

По условию , тогда получаем: , откуда

Задача 4.Две частицы массами и M, имеющие заряды и , движутся как одно целое вдоль силовой линии однородного электрического поля с напряжённостью . Определите ускорение частиц и расстояние между ними, при котором возможно такое движение (рис. 2.5).

Решение.

Изобразим силы, действующие на каждый заряд.

– сила кулоновского притяжения заряда к заряду ;

– сила кулоновского притяжения заряда к заряду .

По третьему закону Ньютона .

– сила, действующая на заряд со стороны однородного электрического поля , ;

– сила, действующая на заряд со стороны электрического поля, .

Запишем для каждого заряда уравнение второго закона Ньютона в проекциях на направление силовой линии электрического поля и решим полученную систему уравнений.

откуда , подставим в эту форму значения и :

Расстояние между зарядами найдём, если полученное значение ускорения подставим в любое из уравнений системы и учтём, что

; ,

откуда, .

Задача 5.Заряд нКл равномерно распределён по тонкому кольцу радиусом см. Найдите напряжённость электрического поля в точке, находящейся на оси кольца на расстоянии от его центра (рис. 2.6).

Решение.

Разделим заряженное кольцо на одинаковые бесконечно малые участки . Заряд каждого участка можно считать точечным. Он создаёт в точке на оси кольца поле напряжённостью :

, (1)

где – расстояние от точки до элемента ;
– единичный вектор, .

Модуль вектора :

. (2)

Представим вектор в виде геометрической суммы

, (3)

где – горизонтальная составляющая вектора (параллельная плоскости кольца); – вертикальная составляющая вектора (направлена вдоль оси кольца).

Полная напряжённость поля в точке , создаваемая зарядом , согласно принципу суперпозиции, определяется суммированием (интегрированием) всех элементарных напряжённостей полей, создаваемых всеми точечными зарядами ,

. (4)

Для каждой пары зарядов и , расположенных симметрично относительно центра кольца, и в сумме дадут нуль, значит .

Составляющие для всех элементов кольца направлены одинаково вдоль оси кольца, поэтому полная напряжённость в точке также направлена вдоль оси.

Модуль вектора будет:

, (5)

где – угол между вектором и осью кольца,

. (6)

С учётом (2) и (6) уравнение (5) принимает вид

Выразим все величины в единицах СИ: ,
20 см = 0,2 м, 0,15 м, , .

Подставим эти значения и выполним вычисления, получаем .

Задача 6.Тонкое полукольцо радиуса равномерно заряжено с линией плотностью . Найти модуль напряжённости электрического поля в центре кривизны этого полукольца (рис. 2.7).

Решение.

Выберем систему координат так, чтобы полукольцо лежало в плоскости х, у, его центр находился в начале координат, а ось была расположена симметрично относительно концов полукольца.

Разобьём полукольцо на бесконечно малые участки длины . Заряд выделенного участка можно считать точечным.

Заряд создаёт в центре полукольца (точка ) поле напряжённостью : ,

где – радиус – вектор, направленный от элемента к точке .

Выразим вектор через проекции и на оси координат:

где – единые векторы осей и (орты).

Полная напряжённость поля в точке , созданного зарядом всего полукольца, находится интегрированием:

интегрирование ведётся вдоль длины полукольца. Из соображений симметрии следует, что (см. задачу 5). Тогда ,

где .

Принимая во внимание, что и , получаем:

Тогда

Из полученной формулы видно, что вектор совпадает с положительным направлением оси , а модуль его

Задача 7.Два коаксиальных диска радиусом 10 см и 5 см расположены на расстоянии 2,4 мм друг от друга. Диски заряжены равномерно с поверхностной плотностью 20 . Определите силу электрического взаимодействия дисков (рис. 2.8).

Решение. Каждый из двух взаимодействующих дисков находится в электрическом поле другого заряда. Все точки диска находятся близко от диска и далеко от его краёв, т.е. диск можно рассматривать как бесконечную равномерно заряженную плоскость, напряжённость которой определяется по формуле

Заряд диска ,

где – площадь диска, , следовательно, сила , действующая на заряд со стороны поля напряжённостью , будет

Такая же по величине сила будет действовать на диск со стороны электрического поля диска , т.е. сила – это сила взаимодействия диска.

Выразим в единицах СИ все величины, входящие в полученную формулу

Выполнив вычисления, получаем

Задача 8. Система состоит из шара радиуса , заряженного сферически симметрично, и окружающей среды, заполненной зарядом с объёмной плотностью , где – постоянная величина, – расстояние от центра шара. Найти заряд шара, при котором модуль напряжённости электрического поля вне шара не зависит от . Чему равна эта напряжённость. Диэлектрическая проницаемость всюду равна единице.

Решение. Напряжённость поля вне шара на расстоянии определяется зарядом шара и зарядом среды , заключённой между сферами радиусами и . Применим теорему Гаусса

. (1)

В силу симметрии и величину можно вынести за знак интеграла, суммарный заряд между сферами равен ,

заряд среды , (2)

где – объём элементарного сферического слоя толщиной на расстоянии от центра шара.

Следовательно,

(3)

Уравнение (1) принимает вид

, (4)

где – площадь сферической поверхности радиуса ,

, тогда напряжённость поля будет

. (5)

Из полученной формулы видно, что значение заряда сферы, при котором напряжённость не зависит от , равно . Напряжённость поля при этом .

Задача 9.Два длинных тонкостенных коаксиальных цилиндра радиусами и равномерно заряжены с линейными плотностями зарядов и соответственно (рис. 2.9). Найдите функции, определяющие зависимости в областях ,определяемых условием: , , .

Решение.

Система зарядов обладает осевой симметрией, поэтому для нахождения зависимости воспользуемся теоремой Гаусса.

По условию, заряженные цилиндры «длинные», значит краевыми эффектами можно пренебречь. В такой системе зарядов силовые линии – прямые, т. е. поле плоскорадиальное. В областях , и вид функции может быть различным.

Рассмотрим сначала область . Проведём через произвольную точку замкнутую цилиндрическую поверхность длиной . Торцы полученного цилиндра, коаксиального с заряженными цилиндрами, закрыты плоскими основаниями, перпендикулярными оси.

Поток вектора через замкнутую поверхность

где – угол между векторами и .

Так как , то получаем

Величина на всех элементах боковой поверхности цилиндра одинакова, поэтому вынесем за знак интеграла и, учитывая, что , получаем .

Внутри выбранной гауссовой поверхности находится суммарный заряд и , где тогда, согласно теореме Гаусса, имеем

. Следовательно, .

В области через произвольную точку проведём поверхность интегрирования – цилиндр высотой и радиусом с плоскими основаниями
(рис. 2.10). Теорема Гаусса для этой области будет иметь вид

так как внутри замкнутой поверхности находится заряд .

Следовательно,

В области поверхность интегрирования проводится через точку (рис.2.10), внутри этой поверхности зарядов нет, поэтому

, откуда .

Функция определена теперь во всей области изменения координаты

Задача 10. Электрическое поле создано тремя большими плоскими пластинами, расположенными параллельно друг другу на расстояниях 5 см (рис. 2.11). Пластины равномерно заряжены с поверхностными плотностями ; и , где . Найдите напряжённость электрического поля в точках , расположенных посередине между соседними пластинами, и в точках и , лежащих за пределами крайних пластин на расстояниях 2,5 см от них. Постройте график зависимости . Ось перпендикулярна пластинам.

Решение.

Напряжённость поля в произвольной точке определяется по принципу суперпозиции:

, (1)

где – напряжённости полей, создаваемых каждой пластиной в этой точке.

Напряжённости , и определяются соотношениями:

; ; . (2)

Для записи уравнения (1) в скалярном виде нужно определить направление векторов , и в областях . Покажем на чертеже (рис. 2.12) силовые линии полей, создаваемых каждой пластиной в отдельности.