Первообразная функции.

Тема: Неопределенный интеграл, его свойства и основные методы интегрирования.

Первообразная функции.

Для всякой математической операции прямого действия всегда существует операция обратного действия. Сложение и вычитание, умножение и деление, логарифмирование и потенцирование, дифференцирование и интегрирование.

Прямая задача : дана функция f(x) ,найти производную f’(x)

Обратная задача: дана производная f’(x) , восстановить функцию f(x)

Опр.Первообразной от функции f(x) наз. другая функция F(x),производная от которой равна f(x)

F’(x) = f(x)( 1 ) или dF(x) = f(x) dx( 2 )

Знак d (оператор) означает, что над функцией F(x)производится операция вычисления дифференциала. Знак обратной операции, для перехода от F’(x)кF(x),имеет вид , а сама операция отыскания первообразной функции наз. интегрированием.

Пр. F(x) = 2x²является первообразной функции f(x) = 4x .Действительно,

F’(x) = (2x²)’ = 4x = f(x).Функции 2x² + 6 , 2x² + 8 , 2x² + constтакже являются первообразными для 4х. Общее свойство: Первообразная любой функции определяется с точностью до константы.

Опр.Неопределенным интегралом от функции f(x)называется совокупность всех её первообразных

dF(x) = f(x) dx = F(x) + C( 3 )

Знаки прямойи обратной операций dи взаимно уничтожают друг друга. Здесь f(x) –подынтегральная функция, f(x) dx -подынтегральное выражение, x- переменная интегрирования, - символ неопределённого интеграла , C - постоянная интегрирования.

График первообразной функции y = F(x)наз. интегральной кривой. Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных кривых, полученных при их параллельном переносе вдоль оси Оу.

Проинтегрировать функцию значит определить вид другой функции, производная от которой дает исходную функцию.