Класс самодвойственных функций

Обозначим через класс всех самодвойственных функций из , то есть таких, что .

Как и выше, нетрудно проверить, что добавление равных функций не выводит за пределы класса :

.

Очевидно, что самодвойственными будут функции , . Менее тривиальным примером является функция :

Для самодвойственной функции имеет место тождество

.

Другими словами, на противоположных наборах и самодвойственная функция принимает противоположные значения. Отсюда следует, что самодвойственная функция определяется своими значениями на первой половине строк таблицы истинности. Поэтому число самодвойственных функций переменных равно .

Докажем, что класс замкнут, то есть, что суперпозиция самодвойственных функций является самодвойственной функцией. Для этого достаточно показать, что функция

является самодвойственной, если самодвойственны. Последнее устанавливается непосредственно:

.

Докажем теперь лемму о несамодвойственной функции.

Лемма 2. Если , то из нее путем подстановки функций и можно получить несамодвойственную функцию одного переменного, то есть константу.

Доказательство. Так как , то найдется набор такой, что

.

Рассмотрим функции ( ) и положим

.

Тогда

Лемма доказана.

Например, функция несамодвойственна, так как . Аналогично для функции имеем: .