Несобственные интегралы второго рода

1.Определение несобственного интеграла второго рода

Пусть f(x) задана на [a;b], но неограниченна на нём. Пусть для определённости f(x) неограниченна в левой окрестности точки b: , но в любом промежутке функция интегрируема. В этом случае точку b называют особой точкой.

Определение. Несобственным интегралом второго рода функции f(x) на [a;b] называется конечный или бесконечный предел интеграла при

. (1)

Если предел (1) существует и конечен, то говорят, что интеграл сходится, и значение предела считают значением интеграла. Если предел (1) не существует или равен бесконечности, то говорят, что интеграл расходится.

Аналогично определяется интеграл функции f(x), неограниченной в правой окрестности точки а:

Пусть далее функция f(x) неограниченна в окрестности точки с, cÎ(a;b) (внутренняя точка). Тогда

Пример 1. Исследовать на сходимость .

D 1) : интеграл расходится.

2) :

Итак, интеграл сходится при , расходится при . D

2. Формула Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла второго рода

Пусть функция f(x) определена и непрерывна в интервале [a;b) и вблизи точки b функция неограниченна (b - особая точка функции f(x)). Тогда для f(x) в этом промежутке существует первообразная F(x) и "h>0 по формуле Ньютона-Лейбница имеем

. (2)

Отсюда следует, что несобственный интеграл (1) существует тогда и только тогда, когда существует конечный предел . В этом случае функция F(x) является непрерывной на отрезке [a;b]. Тогда, переходя в (2) к пределу при h®0, получим формулу Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла второго рода

Итак, для вычисления несобственных интегралов второго рода можно использовать формулу Ньютона-Лейбница, если функция F(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F¢(x)=f(x) во всех точках, где f(x) конечна.

Пример 2.Вычислить .

D х=0 – особая точка. Первообразная непрерывна на [-1;27], в том числе, и в точке х=0, следовательно, можно применить формулу Ньютона-Лейбница:

Пример 3.Исследовать на сходимость .

D х=0 – особая точка. Первообразная имеет в точке х=0 бесконечный разрыв. Следовательно, данный интеграл расходится и равен ¥.

Заметим, что если не обратить на это внимание и формально применить формулу Ньютона-Лейбница, то получим неверный результат:

. D

3. Несобственные интегралы второго рода от неотрицательных функций

Теорема 1. Пусть f(x)³0 на [a;b) и интегрируема на [a;b-h] "h>0. Для сходимости несобственного интеграла (1) необходимо и достаточно, чтобы множество интегралов (h>0) ограничено сверху. В противном случае интеграл (1) расходится и равен ¥.

Для несобственных интегралов второго рода, как и для несобственных интегралов первого рода, имеют место теоремы сравнения 2 и 3. Сформулируем их без доказательства.

Теорема 2. Пусть функции f и g неотрицательны на [a;b) и интегрируемы на [a;b-h] "h>0. Пусть на [a;b) выполнено

Тогда: 1) из сходимости интеграла следует сходимость интеграла ;

2) из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .

Теорема 3. Пусть функции f и g неотрицательны на [a;b) и интегрируемы на [a;b-h] "h>0. Если существует (0£k£¥), то

1) из сходимости интеграла при k<¥ следует сходимость интеграла ,

2) из расходимости интеграла при k>0 следует расходимость интеграла .

Замечание.Если в условиях теоремы 3 0<k<¥ (конечное число, не равное 0), то интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

В качестве функций сравнения удобно брать степенные функции: для промежутка [a;b) , а для промежутка (a;b] . Соответствующие интегралы , сходятся при , расходится при (в этом легко убедиться, сведя указанные интегралы линейной заменой переменной к интегралу , рассмотренному в примере 1).