Несобственные интегралы первого рода

Несобственные интегралы

Лк5,6(4ч)

Понятие было введено в предположении, что:

1) промежуток интегрирования конечен (отрезок [a;b]),

2) функция f(x) ограничена на [a;b].

Такой определенный интеграл называется собственным (слово ²собственный² опускают). Если какое-либо из этих условий не выполняется, то определенный интеграл называется несобственным. Различают несобственные интегралы I и II рода.

1.Определение несобственного интеграла первого рода

Обобщим понятие определённого интеграла на бесконечный промежуток. Пусть f(x) определена на промежутке [a;+¥) и интегрируема в каждой конечной его части, т. е. . В этом случае существует интеграл . Ясно, что есть функция, определённая на [a;+¥). Рассмотрим . Этот предел может существовать и не существовать, но независимо от этого он называетянесобственным интегралом первого рода и обозначается .

Определение. Если существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, а значение этого предела есть значение несобственного интеграла. . Если не существует или равен ¥, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Аналогично определяются ,

.

Пример 1. Исследовать на сходимость интеграл , .

D непрерывна на [a;+¥) .

Если , то , а Þ интеграл сходится.

Если , то интеграл расходится.

Итак, сходится при и ;

расходится при .D

2. Свойства несобственного интеграла первого рода

Так как несобственный интеграл определяется как предел интеграла Римана, то на несобственный интеграл переносятся все свойства, которые сохраняются при предельном переходе, то есть выполняются свойства 1-8. Теорема о среднем значении не имеет смысла.

3. Формула Ньютона – Лейбница

Пусть функция f непрерывна на [a;+¥), F - первообразная и существует . Тогда справедлива формула Ньютона – Лейбница:

.

В самом деле,

.

Пример 2. D . D

Геометрический смысл несобственного интеграла I рода

Пусть функция f неотрицательна и непрерывна на [a;+¥) и несобственный интеграл сходится. равен площади криволинейной трапеции с основанием [a;b], а равен площади с основанием [a;+¥).

4. Несобственные интегралы от неотрицательных функций

Теорема 1. Пусть f(x)³0 на [a;+¥) и интегрируема на [a;b] "b>a. Для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы множество интегралов было ограничено сверху, причём .

Доказательство.

Рассмотрим функцию , a£b. Так как f(x)³0, то F не убывает Действительно, "b₁, b₂: a£b₁<b₂ в силу того, что , выполнено

.

По определению несобственный интеграл сходится тогда и только тогда, когда существует конечный . Т.к. F(b) не убывает, то этот предел существует тогда и только тогда, когда функция F(b) ограничена сверху, то есть $М>0: "b>a. При этом

.

Расходимость несобственного интеграла означает, что , то есть .

Теорема 2. Пусть функции f и g неотрицательны на [a;+¥) и интегрируемы на [a;b] "b>a. Пусть на [a;+¥) выполнено

. (1)

Тогда:

1) из сходимости интеграла (2) следует сходимость интеграла (3);

2) из расходимости интеграла (3) следует расходимость интеграла (2).

Доказательство.

Из (1) "b>a.

1) Пусть интеграл (2) сходится. По теореме 1 множество ограничено ограничено ограничено. По теореме1 сходится.

2) Пусть расходится. Докажем, что расходится интеграл (2). От противного. Предположим, что интеграл (2) сходится, но тогда по первой части теоремы сходится интеграл (3) – противоречие с условием.

Теорема 3. Пусть функции f и g неотрицательны на [a;+¥) и интегрируемы на [a;b] "b>a. Если существует (0£k£¥), то

1) из сходимости интеграла при k<¥ следует сходимость интеграла ,

2) из расходимости интеграла при k>0 следует расходимость интеграла .

Доказательство.

1) Пусть k<¥ и сходится.

или или

. (4)

Т. к. сходится, то сходится, значит, сходится . Тогда в силу (4) сходится . Отсюда сходится.

2) Пусть k>0 и расходится. В этом случае - конечное число. Если допустим противное – что интеграл сходится, то по доказанному в п. 1) получим, что тоже сходится, а это противоречит условию. Следовательно, сделанное предположение неверно, и расходится.

Замечание.Если в условиях теоремы 3 0<k<¥ (конечное число, не равное 0), то интегралы (2) и (3) сходятся или расходятся одновременно.

Следствие 1. Если "х>a , k>0, a>1, то сходится, если же "х>a , k>0, a£1, то интеграл расходится.

Следствие 2. Пусть существует Тогда:

1) при a>1, k³0 сходится,

2) при a£1, k>0 расходится.

Пример. Исследовать на сходимость интеграл .

D I способ (по следствию 1). . Т. к. , то данный интеграл сходится.

II способ (по следствию 2). Рассмотрим . Если , т.е. , то . Т. к. , то интеграл сходится.D

5. Абсолютная сходимость интеграла

Пусть - знакопеременна на [a;+¥).

Определение.Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .

Теорема 4. Из абсолютной сходимости несобственного интеграла следует его сходимость.

Доказательство.

Т. к , то справедливо неравенство . Так как сходится абсолютно, то по определению сходится . Значит, сходится. Но сходится.