Понятие определённого интеграла

Разбиением отрезка [a;b] (a<b) называется любая конечная система его точек x_k, k=0, 1, 2,…, n, такая, что a=x₀<x₁<x₂<…<x_k<…<x_n=b

Обозначим

Точки x₀, x₁,…, x_n называются точками разбиения, а отрезки [x₀;x₁], [x₁;x₂],…, [x_n-1;x_n] называются частичными отрезками или просто – отрезками разбиения Т.

∆x_k –длина k-го частичного отрезка, ∆x_k=x_k-x_k-1 (k=1, 2,…, n),

λ=λ(t)=max∆x_k – длина наибольшего из частичных отрезков называется рангом или диаметром разбиения.

Если λ→0, то длины всех отрезков стремятся к нулю.

Пусть функция y=f(x) задана на [a;b], - разбиение этого отрезка. На каждом из частичных отрезков [x_k-1;x_k], выберем произвольным образом по одной точке ξ_k (ξ_kÎ[x_k-1;x_k], ). Составим сумму:

(1)

Множество этих сумм {S(T,ξ_k)} представляет собой числовое множество. Сумма (1)называется интегральной суммой для функции f на отрезке [a;b]. Сумма (1)зависит от способа разбиения T и от выбора точек ξ_k.

Геометрический смысл интегральной суммы

Определение 1.Число I называется пределом суммы (1) при λ→0, если "ε>0 $δ>0, такое что для любого разбиения T, удовлетворяющего условию λ<δ, и при любом выборе точек ξ_kÎ[x_k-1;x_k] выполняется неравенство │S(T,ξ_k)-I│<ε.

Обозначается .

Определение 2.Если для функции f на [a;b] существует предел интегральных сумм S(T,ξ_k) при λ→0, не зависящий ни от способа разбиения Т отрезка [a;b], ни от выбора точек ξ_k, и равный I, то он называется определённым интегралом Римана и обозначается .

Таким образом, согласно определению . (2)

Функция f в этом случае называется интегрируемой по Риману на [a;b].

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования; f - подынтегральной функцией, x - переменной интегрирования.

Из определения следует, что определённый интеграл от функции f на [a;b] есть число, зависящее от a и b и не зависящее от буквенного обозначения переменной интегрирования.

.

Пример 1. Пусть f(x)=c. Докажем, что .

Выберем произвольное разбиение отрезка [a;b] и произвольно на каждом [x_k-1;x_k], выберем точки ξ_k [x_k-1;x_k].

f(ξ_k)=c "ξ_k, следовательно, . Переходя к пределу при λ→0, получим .

Из примера 1 следует, что если с=1, то .

Пример 2.

Приведём пример функции ограниченной, но не интегрируемой на [a;b]:

-функция Дирихле.

Выберем произвольное разбиение отрезка [a;b] и произвольно на каждом [x_k-1;x_k], выберем точки ξ_k [x_k-1;x_k].

Если ξ_k [x_k-1;x_k]∩, то .

Если ξ_k [x_k-1;x_k]∩I, то .

Следовательно, не существует.

Ограниченность интегрируемой функции

Теорема (необходимое условие интегрируемости). Если функция f интегрируема на [a;b], то она ограничена на этом отрезке.

Доказательство.

(От противного) Пусть f-неограниченная функция на [a;b]. Выберем произвольное разбиение отрезка [a;b] и произвольно выберем точки ξ_k [x_k-1;x_k],

Т.к. f не ограничена на [a;b], то она не ограничена хотя бы на одном из частичных отрезков. Пусть она не ограничена на [x_i-1;x_i].

,

.

Ясно, что .

Все точки x_k фиксируются, а ξ_k выбираются произвольно на каждом [x_k-1;x_k]. Т.к. f не ограничена на [x_i-1;x_i], то её значение f(ξ_i) может быть сделано сколь угодно большим за счёт выбора точки ξ_i. Следовательно, величина f(ξ_i)∆x_i может быть сделана сколь угодно большой по модулю. Но это означает, что интегральная сумма не может иметь предел I, следовательно, наше предположение неверно.

Из теоремы следует, что всякая интегрируемая функция на отрезке ограничена на нём. Пример 2 показывает, что не всякая ограниченная функция интегрируема. Отсюда вытекает необходимость получить условия, при которых функция интегрируема.