Интегрирование иррациональных функций

Через R(x;y) будем обозначать рациональную функцию от двух аргументов x и y, т.е. функцию, которая получена из x и y и некоторых постоянных с помощью конечного числа рациональных операций: умножения, сложения, вычитания, деления.

Например, - рациональная функция от x и y;

- не является рациональной функцией, т.к. содержит .

Справедливо утверждение: если R(x;y) – рациональная функция от x и y, а R₁(t), R₂(t), R₃(t)- рациональные функции от переменной t, то R(R₁(t),R₂(t))∙R₃(t)- рациональная функция от t.

I. Интегралы вида (1)

R- рациональная функция от x и , и

Введём подстановку – линейное уравнение относительно x. Следовательно, - рациональная функция от t, обозначим её R₁(t), тогда dx=(R₁(t))¢dt=R₂(t)dt и, следовательно, x и dx рационально выражаются через t. Получим

.

Значит, .

Частный случай интеграла (1): c=0, d=1. Получим , следовательно, .

К интегралу (1) приводят интегралы более общего вида:

. (2)

(2) приводится к (1) с помощью подстановки , где n - наименьшее общее кратное показателей m₁,…, m_k .

Пример 1.

.

II. Интегралы вида (3)

вычисляются в общем случае с помощью подстановок Эйлера.

Частные случаи (некоторые иррациональности)

1) . С помощью выделения полного квадрата в подкоренном выражении сводится к табличным интегралам.

2) . В числителе выделяем производную подкоренного выражения. Поделив почленно, получим табличный интеграл и интеграл предыдущего типа.

Пример 2.

.

3) - подстановка .

4) .

Применяется тригонометрическая подстановка mx=ntgt или mx=nctgt.

Частный случай

5)

Применяется тригонометрическая подстановка ( )

Частный случай

6)

Применяется тригонометрическая подстановка mx=nsint (mx=ncost)

Частный случай