Основные методы интегрирования

I. Метод введения нового аргумента

По определению неопределённого интеграла , xÎ<a;b> - независимая переменная. Эта формула инвариантна относительно х, т.е. в формуле х может быть как независимой переменной, так и непрерывно дифференцируемой функцией.

Теорема1.Если , то где u=φ(x) – непрерывно дифференцируемая функция.

Доказательство.

Имеем

, (1)

где х – независимая переменная. С другой стороны, дан , где u=φ(x)– непрерывно дифференцируемая функция, значит, du=φ'(x)dx. Тогда

f(u)du=f(φ(x))×φ'(x)dx. (2)

Рассмотрим сложную функцию F(u)=F(φ(x)).

[F(φ(x))]'=F'(u)×φ'(x)=f(u)×φ'(x)=f(φ(x))×φ'(x), т.е. функция F(φ(x)) является первообразной для f(φ(x))×φ'(x). Следовательно, , или по (2) .

Примеры.

1. - непрерывно дифференцируемая функция на Þ

2. .

3.Обобщим формулы (11) и (12) таблицы интегралов

Итак, .

(аналогично)

4.

, .

Если α=-1, то

.

5. .

II. Метод подстановки

Теорема 2.Пусть y=f(x) непрерывна на ∆_x, x=φ(t) – монотонная, непрерывно дифференцируемая на ∆_t. Пусть определена сложная функция f(φ(t)) на ∆_t (множеством значений функции φ(t) является промежуток ∆_x). Тогда

. (3)

Доказательство.

Продифференцируем обе части равенства (3):

.

Значит, обе части формулы (3) имеют один и тот же дифференциал и, следовательно, выражают собой одно и то же семейство первообразных для функции f(x).

Итак, для вычисления интеграла с помощью подстановки x=φ(t) надо выразить х через t, dx – через t и dt, т.е. dx=φ'(t)dt. Чтобы после вычисления интеграла вернуться к переменной х, надо в полученной функции заменить t значением, которое находится из соотношения t=φ^-1(x) (существование обратной функции следует из монотонности φ(t)).

Линейная подстановка

.

Докажем двумя способами (с помощью I и II)

1 способ.

.

2 способ.

.

Пример.

.

III. Интегрирование по частям

Теорема 3.Пусть функции u=u(x) и v=v(x) дифференцируемы на промежутке ∆. Пусть на ∆ функция имеет первообразную. Тогда функция на ∆ имеет первообразную и справедлива формула

. (4)

Доказательство.

По правилу дифференцирования произведения имеем:

.

Следовательно, . (5)

По условию существует интеграл . По свойству интеграла . Поэтому существует интеграл правой части (5), следовательно, существует интеграл и левой части:

.

Относя в последнем равенстве С ко второму интегралу получим (4).

Замечание.Т.к. v'(x)dx=dv, u'(x)dx=du, то (4) можно записать в виде

. (6)

Формула (6) сводит вычисление к вычислению , что иногда бывает легче сделать. Для применения (6) надо подынтегральное выражение разбить на 2 сомножителя u и dv (в dv входит dx).

Выделим основные типы интегралов, вычисляемые методом интегрирования по частям.

I.Подынтегральная функция имеет вид P(x)e^ax, P(x)cosax, P(x)sinax, где P(x) – многочлен, a . В таких интегралах за u(x) надо принять многочлен P(x) и формулу интегрирования по частям применять столько раз, какова степень многочлена.

Пример.

.

II.Подынтегральная функция содержит в качестве множителя одну из функций lnx, arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx.

В этом случае за u(x) надо взять эту функцию.

Пример.

.

III.Подынтегральная функция имеет вид: e^axsinbx, e^axcosbx, cos(lnx), sin(lnx).

Формула интегрирования по частям применяется последовательно 2 раза, причём оба раза за u(x) выбирается одна и та же функция (либо показательная, либо тригонометрическая). После этого получается линейное уравнение относительно исходного интеграла.

Пример.

Пусть . Получим уравнение:

Þ Þ

.

IV.С помощью метода интегрирования по частям можно вывести так называемые рекуррентные формулы, дающие возможность свести некоторые интегралы к интегралам того же типа, но более простым по своей структуре.