Свойства неопределённого интеграла

Интегральное исчисление функций одной переменной

I. Неопределенный интеграл

Первообразная

Пусть f определена на (а;b), а, b .

Определение 1. Функция F называется первообразной функцией (или первообразной) для функции f на (а;b), если F дифференцируема на (а;b) и F'(x)=f(x).

Если f определена на [а;b], то F имеет производные F'(а+0)=f(а+0), F'(b–0)=f(b-0).

Примеры.

1)Пусть s=s(t) – закон прямолинейного движения материальной точки. Тогда s(t) – первообразная для скорости v(t), т.к. s'(t)=v(t).

Скорость v(t) – первообразная для ускорения a(t), т.к. v'(t)=a(t).

2)F(x)= является первообразной для f(x)= на (-3;3), т.к. F'(x) = "x (-3;3).

Теорема 1.Если функция F(x) является первообразной для f(x) на (а;b), то функция F(x)+C (где ) также является первообразной для f(x) на (а;b).

Доказательство.

F'(x)= f(x) "x (а;b) (по условию). Рассмотрим функцию F(x)+C. Она дифференцируема на (а;b) и (F(x)+C)'=F'(x)+C' = f(x), т.е. F(x)+C – первообразная для функции f(x) на (а;b).

Теорема 2.Если F₁(x) и F₂(x) – две первообразные для функции f(x) на (а;b), то "x (а;b) F₁(x)–F₂(x)=C, С .

Доказательство.

Положим Ф(x)=F₁(x)–F₂(x). Т.к. F₁ и F₂ дифференцируемы на (а;b), то Ф(x) дифференцируема на (а;b).

Ф'(x)=(F₁(x)–F₂(x))'=F₁'(x)–F₂'(x)=f(x)–f(x)=0 "x (а;b).

Следовательно, Ф(x)=const, т.е. Ф(x)=C "x (а;b). Значит, F₁(x)–F₂(x)=C.

Следствие.Если F(x) является первообразной для f(x) на (а;b), то совокупность всех первообразных для f(x) на (а;b) совпадает с множеством F(x)+C, С .

Определение 2.Множество всех первообразных для функции f(x) на (а;b) называется неопределённым интегралом от функции f на интервале (а;b) и обозначается .

∫ - знак интеграла, f(x)dx – подынтегральное выражение, f(x) – подынтегральная функция.

Согласно определению, если F(x) - одна из первообразных функции f(x) на (а;b), то

=F(x)+C, С (1)

С – постоянная интегрирования.

Равенство (1) – равенство между двумя множествами. Операция нахождения первообразной или неопределённого интеграла от функции f называется интегрированием функции f. Интегрирование – действие, обратное дифференцированию. Следовательно, для проверки правильности интегрирования нужно продифференцировать результат интегрирования.

Важно: если операция дифференцирования однозначна, то операция интегрирования возможна лишь с точностью до постоянного слагаемого.

Возникает вопрос: в каких случаях существует первообразная? Всегда ли можно интегрировать?

Теорема 3.Если f(x) непрерывна на [а;b], то она имеет на нём первообразную, а следовательно и неопределённый интеграл. (Докажем позже)

Если f(x) разрывна на [а;b], то будем рассматривать f(x) только на промежутках непрерывности. На каждом из них она будет интегрируема.

Пример.

f(x)= , x=0 – точка разрыва, (-∞;0) и (0; +∞) – промежутки непрерывности.

На (0;+∞) одной из первообразных является lnx, т.к. (lnx)'= . Тогда , x (0;+∞). На (-∞;0) эта формула лишена смысла, т.к. lnx не определён при x<0. Но на (-∞; 0) одной из первообразных является ln(-x), т.к. (ln(-x))'= Þ , x (-∞; 0). Таким образом,

Или , x ≠0.

Геометрический смысл неопределённого интеграла

Пусть =F(x)+C, x <a;b>. График функции F(x) называется интегральной кривой. Интегральная кривая в каждой точке < а;b> имеет касательную, угловой коэффициент которой равен f(x), (т.к. F'(x)=f(x)). Неопределённый интеграл F(x)+C есть семейство интегральных кривых. Графики любых двух кривых получаются один из другого сдвигом на постоянную величину вдоль оси Оy.

Свойства неопределённого интеграла

1. ,

Доказательство.

.

2.

Доказательство.

dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx Þ .

3. Если f(x) имеет первообразную на <a;b> и к≠0, то функция кf(x) тоже имеет первообразную на <a;b>, причём

. (1)

Доказательство.

(kF(x))'=kF'(x)=кf(x) Þ функция kF является первообразной для kf на <a;b> =>

Далее . Итак, левая часть равенства (1) представляет собой совокупность функций kF(x)+C₁, а правая состоит из функций вида kF(x)+kC. В силу произвольности С₁ и С оба множества совпадают.

4. Если функции f и g имеют первообразные на <a;b>, то и функция f±g имеет на <a;b> первообразную, причём

. (2)

Доказательство.

Пусть =F(x)+C₁, =G(x)+C₂.

Рассмотрим функцию Ф(x)=F(x)±G(x),

Ф'(x)=F'(x)±G'(x)=f(x)±g(x) Þ . Следовательно, левая часть равенства (2) состоит из функций F(x)±G(x)+C, а правая из функций (F(x)+C₁)±(G(x)+C₂)= F(x)±G(x)+C₁±C₂. Ввиду произвольности С₁, С₂, С эти множества совпадают.

Свойства 3 и 4- линейные свойства интеграла.

Следствие.Пусть f и g имеют первообразные на <a;b> и хотя бы одно из чисел α, β отлично от 0, тогда функция αf(x)+βg(x) имеет первообразную на <a;b>, причём

.

Основная таблица интегралов

Из таблицы производных основных элементарных функций получаем основную таблицу интегралов.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

Как известно, производная от элементарной функции является элементарной функцией. Т. е. операция дифференцирования не выводит нас из класса элементарных функций. При интегрировании интегралы от некоторых элементарных функций не являются элементарными функциями.

Примеры.

1. – интеграл Пуассона

2. интегралы

3. Френеля

4.

5.

6.

Если для функции f первообразная является элементарной функцией, то говорят, что выражается через элементарные функции или, что этот интеграл вычисляется. Далее выделим те элементарные функции, интегралы от которых вычисляются.