Интегрирование по частям

Справедлива формула:

(3.2)

Она получается почленным интегрированием формулы производной произведения. Иногда используют другую форму записи формулы (2.1)

(3. )

Смысл формулы в том, что производная перебрасывается с одного сомножителя на другой и интеграл при этом может оказаться проще, чем исходный.

Можно выделить по крайней мере два класса интегралов, для которых применима формула интегрирования по частям.

I. ,

где - многочлен степени n. В качестве нужно взять , а - другой сомножитель.

При этом формулу приходится применить столько раз, какова степень многочлена

II. .

В этом случае, наоборот, следует положить = .

Рассмотрим применение указанной схемы.

Пример 15. .

Это интеграл первого типа, поэтому:

Пример 16. .

Это интеграл второго типа, поэтому имеем:

Заметим, что при использовании формулы интегрирования по частям приходится восстанавливать функцию по ее производной . Поэтому в качестве сомножителя нужно брать легко интегрируемую функцию.

Формула интегрирования по частям может хорошо сработать и в других случаях.

Пример17.

Получили уравнение относительного исходного интеграла I. Вынося I за скобку, получим

откуда

Пример 18. .

В этом примере целесообразно прежде сделать замену переменной. Введем обозначения , тогда , .

После подстановки получим интеграл:

Это интеграл предыдущего вида. Рекомендуем самостоятельно довести до конца решение этого примера.

Пример 19. .

Нетрудно заметить, что и берется по формуле , поэтому введем следующие обозначения:

Используя формулу интегрирования по частям, получим:

В следующем примере выбор u и определяется тем, что u предстоит дифференцировать (что возможно при любой сложности ее задания), а - интегрировать (что возможно далеко не всегда).