Характеристики магнитного поля

Основным явлением электромагнетизма является взаимодействие токов. Поэтому в качестве силовой характеристики магнитного поля используется вектор магнитной индукции. Эта характеристика определяется из закона Ампера.

; (6.1)

, где .

Сила, действующая на элемент тока длиной , находящейся в магнитном поле с индукцией , равна векторному произведению элемента тока на вектор индукции поля.

Из (6.1) модуль индукции магнитного поля можно найти по максимальной силе, действующей на единичный элемент тока.

.

Единица измерения модуля индукции названа теслой.

.

Основной закон, устанавливающий зависимость между силой тока и вектором магнитной индукции, носит название закона Био-Савара-Лапласа.

. (6.2)

Вектор магнитной индукции, созданный элементом тока проводника в некоторой точке, определяемой радиус-вектором , проведенным из элемента тока, зависит только от элемента тока, положения точки относительно этого элемента и от среды, в которой создается поле.

– магнитная постоянная.

.

– относительная магнитная проницаемость среды, которая показывает, во сколько раз индукция магнитного поля в среде больше, чем в вакууме.

.

Закон Био-Савара-Лапласа позволяет вычислять силовую характеристику магнитного поля для токов различной конфигурации. Индукция магнитного поля, создаваемая бесконечно длинным проводником с током в точке на расстоянии а от него, равна:

. (6.3)

Для кругового тока:

, (6.4),

где r – радиус витка с током.

Индукция магнитного поля на оси соленоида равна:

, (6.5),

где n –число витков на единице длины соленоида.

.

Вспомогательной величиной, характеризующей магнитное поле, является вектор напряженности . Между напряженностью и вектором индукции существует простая взаимосвязь:

. (6.6)

Первый тип задач на магнитное поле заключается в определении вектора индукции или напряженности поля по закону Био-Савара-Лапласа (6.2) и методом суперпозиции:

. (6.7)

Второй тип задач определяет действие магнитного поля на ток (6.1) и на движущиеся электрические заряды.

Для определения сил взаимодействия двух параллельных проводников с током используют закон Био-Савара-Лапласа (6.3) и закон Ампера (6.1).

.

На рамку с током в магнитном поле действует механический момент, вызывающий поворот рамки в однородном магнитном поле.

, (6.8)

где магнитный момент рамки.

Сила, действующая на заряд, движущийся в магнитном поле, называется силой Лоренца.

. (6.9)

, где .

Закон полного тока:

Циркуляция вектора напряженности вдоль замкнутого контура равна алгебраической сумме постоянных токов, охватываемых данным контуром.

. (6.10)

Примеры решения задач

Задача 1. На рисунке изображены сечения двух прямолинейных бесконечно длинных проводников с токами. Расстояние между проводниками АВ=10 см, токи I₁=20 А, I₂=30 А. Найти напряженность Н магнитного поля, вызванного токами I₁ и I₂ в точках М₁, М₂ и М_3. Расстояния М₁А=2 см, АМ₂=4 см, ВМ₃=3 см.

Дано: Решение:

I1

I₁=20 А

I₂=30 А

М₁А=2 см

А М₂=4 см

ВМ₃=3 см

Н₁,Н₂,Н₃-?

Согласно принципу суперпозиции напряженности Н₁,Н₂,Н₃ магнитного поля в точках М₁, М₂ и М₃ складываются из напряженностей, создаваемых токами I₁ и I₂. ; . Напряженность , где а – расстояние от проводника с током до точки, в которой определяется напряженность. Тогда = ;

Отсюда, с учетом рисунка, Н₁= - =119,4 А/м; Н₂= + =159,2 А/м; Н₃= =134,7 А/м.

Ответ: Н₁=119,4 А/м, Н₂=159,2 А/м, Н₃=134,7 А/м.

Задача 2. Два круговых витка радиусом R = 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии d = 10 см друг от друга. По виткам текут токи I₁ = I₂ = 2 А. Найти напряженность Н магнитного поля на оси витков в точке, находящейся на равном расстоянии от них. Задачу решить, когда: а) токи в витках текут в одном направлении; б) токи в витках текут в противоположных направлениях.

R = 4 см Напряженность магнитного поля,

d = 10 см создаваемого каждым из круговых

I₁ = I₂ = 2 А токов в точке М, равна

Н_а -? Н_б -? , где r = .

Поскольку величины I, R и r для обоих витков одинаковы, то значение напряженности по абсолютной величине для обоих витков будет равным, т.е. Н₀₁ = Н₀₂. Согласно принципу суперпозиции результирующая напряженность магнитного поля . Если токи в витках текут в одном направлении, то направления векторов напряженности и совпадают и или Н_а = . Если токи текут в противоположных направлениях, то и Н_б = 0.

Ответ: Н_а=12,2 А/м, Н_б = 0.

Задача 3. Электрон, ускоренный разностью потенциалов , влетает в однородное магнитное поле под углом к направлению поля и движется по винтовой траектории. Индукция магнитного поля . Найти радиус и шаг h винтовой траектории.

Дано:	Решение:
, h -?

Разложим скорость электрона, влетающего в магнитное поле, по двум направлениям: вдоль линии поля – и параллельно ему – . Составим два уравнения. Сила Лоренца создает центростремительное ускорение, т.е. , откуда (1). Поскольку , а из рисунка , то (2). Разделим обе части уравнения (2) на квадраты обеих частей уравнения (1). Получим ; , откуда . Шаг спирали найдем из соотношений и , откуда . Т.к. , то h=11 см.

Ответ: h=11 см.

Задача 4. По тороидальной катушке с числом витков 1000 течет ток 5 А. Средний диаметр катушки d = 40 см, а радиус витков r = 5 см. Определить вектор индукции магнитного поля в точках, находящихся от центра тороида на расстояниях а₁ = 5 см и а₂ = 20 см. Тороид намотан на железный сердечник с магнитной проницаемостью = 5000.

Дано: Решение:

N = 1000

I = 2 A

r = 0,05 м

а₁ = 0,05 м

а₂ =0, 2 м

= 5000

B₁ – ?

B₂ - ?

1. Воспользуемся связью двух силовых характеристик магнитного поля:

.

2. Для нахождения вектора индукции магнитного поля в некоторой точке надо знать его напряженность в этой же точке. Воспользуемся законом полного тока.

В качестве контура для циркуляции вектора напряженности выберем окружности с центром в центре тороида и радиусами а₁ и а₂, проходящими через точки 1 и 2.

Окружность радиуса а₁ не охватывает тока, поэтому

, следовательно Н₁ = 0 и = 0.

Окружность радиуса а₂ пересекает N витков с током, следовательно, циркуляция вектора напряженности через этот контур равна NI:

;

, где L – длина окружности радиуса а₂.

.

, а .

3. Производим вычисления:

.

Ответ: В₁ = 0, В₂ = 25 Тл.