Координаты центра тяжести.

Центром тяжести совокупности материальных точек называется центр параллельных сил тяжести, приложенных в этих точках .

Для материальной дуги АВ плоской кривой прямоугольные координаты центра тяжести С определяются формулами

,

где -масса дуги АВ; и -статические моменты этой дуги относительно осей Ох и Оу; - линейная плотность распределения массы в точке дифференциал дуги;(А) и (В) обозначают значения выбранной переменной интегрирования в точках А и В.

Для материальной однородной криволинейной трапеции, прилегающей к оси Ох

7.7.1. Найти центр тяжести четверти окружности ,расположенной в первом квадроите , если в каждой её точке линейная плотность пропорциональна произведению координат точки.

Решение: Из уравнения окружности найдём затем :

Далее вычислим интегралы, содержащиеся в формулах ,полгая, согласно условию,

Получим

7.7.2. Найти центр тяжести однородной арки циклоиды

Решение.

Данная однородная дуга симметрична относительно прямой .Поэтому центр тяжести дуги лежит на этой прямой, т.е. .Для определения найдем дифференциал дуги циклоиды

и вычислим

Следовательно

7.7.3. Найти центр тяжести однородной фигуры (пластинки), ограниченной параболой и осями координат

Решение. Данная фигура симметрична относительно биссектрисы первого координатного угла,

Поэтому

Вычислим интегралы

Следовательно

7.7.4. Определить координаты центра тяжести сегмента параболы y² = ax, отсекаемого прямой x = a

Решение. В данном случае , , поэтому

,

y_c = 0 (так как сегмент симметричен относительно оси Ox).

7.8. Согласно закону Гука, удлинение ∆l стержня длиной l постоянного сечения F под действием растягивающей нормальной силы Р определяется формулой

где Е — модуль упругости материала, из которого сделан стержень. Определить удлинение свободно подвешенного цилиндрического стержня длиной / см и поперечного сечения F см² под действием его

собственного веса. Удельный вес материала стержня γ г/см³.

Решение. Разделим стержень

на элементарные цилиндрические стержни. Эти элементы будут

испытывать различные растяжения, так как они находятся под

действием различных сил веса.

Вычислим по формуле растяжение элементарного цилиндра высотой Дх, находящегося на расстоянии х от места подвеса. На него действует сила веса, равная весу нижележащей части стержня. Длина этой части равна (l — х), объем ее — (l- х)F,а вес—(l-x)E_γ Полагая в формуле (11,9) l=∆x; Р=(l-x)E_γ,получим, что ра­стяжение элементарного цилиндра приближенно равно

Суммируя растяжения этих элементарных цилиндров и пере­ходя к пределу при условии, что число этих элементарных ци­линдров неограниченно возрастает, а высота ∆x каждого из них неограниченно убывает, общее удлинение стержня найдем по фор­муле

Ответ: