Рассмотрим ряд , члены которого являются функциями переменной х. Такие ряды называются функциональными. Ограничимся рассмотрением двух наиболее употребительных видов функциональных рядов - степенных и тригонометрических.
Интервал сходимости.Функциональный ряд вида
,
(7.17)
где — постоянные вещественные числа, называется степенным рядом. Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида
,
(7.18)
где — некоторое постоянное число.
Ряд (7.18) приводится к виду (7.17), если положить ,
поэтому в дальнейшем будем рассматривать только ряды вида (7.17).
При каждом конкретном значении ряд (7.17) становится числовым. Поэтому при каких-то значениях этотряд сходится, а при других – расходится. Множество значений , при которых
функциональный ряд сходится, называется областью сходимости ряда.
Можно доказать [ ], что для каждого степенного ряда существует положительное число , такое, что этот ряд абсолютно сходится при и расходится при . Число называется радиусом сходимости рассматриваемого ряда, а интервал называется интервалом сходимости этого ряда.
На концах интервала сходимости (в точках и ) степенной ряд может сходиться или расходиться. Этот вопрос
решается для каждого числового ряда, получающегося из степенного ряда в результате подстановки в него указанных значений.
Очевидно, всякий степенной ряд (7.17) сходится при = 0. Может оказаться, что ряд сходится только при = 0, в этом случае . Может также оказаться, что ряд вида (7.17) сходится на всей числовой прямой, тогда .
В простейших случаях радиус сходимости степенного ряда (7.17) можно определить с помощью признака Даламбера или радикального признака Коши. Указанные признаки применяются к рядам с положительными членами, поэтому можно использовать только для ряда, составленного из абсолютных величин ряда (7.17):
,
(7.19)
Рассмотрим применение признака Даламбера. Пусть существует предел
. Применим признак Даламбера к ряду (7.17)
В соответствии с этим признаком, ряд (7.17) сходится, если и расходится, если . Из последних неравенств определяется интервал сходимости и радиус сходимости .
Если , то при любом и ряд (7.17), а значит, и ряд (7.15) сходятся на всей числовой оси, т. е. .
Если же , то при любом из числовой оси и при любом ряд расходится, т. е. .
Пример 7.13. Для ряда
.
Следовательно, R = 3. Поэтому данный ряд абсолютно сходится в интервале (— 3; 3) и расходится вне отрезка [— 3; 3]. В точке получаем гармонический ряд, т. е. в этой точке заданный ряд расходится. В точке имеем ряд , который сходится в силу теоремы Лейбница. Значит, в точке заданный ряд сходится условно. Пример 7.14. В случае ряда
Значит, R= 0.
Пример 7.15. Для ряда
Следовательно, .
Разложение функций в степенные ряды. Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, т. е. функцию представлять в виде суммы степенного ряда, так как тем самым мы получаем возможность просто вычислять значения этой функции с любой степенью точности.
Разберем частные случаи.
Рассмотрим степенной ряд
Этот ряд сходится при , причем сумма его равна .
Следовательно,
= (7.18)
и это равенство справедливо при всех х из интервала (— 1; 1).
Формула (6) называется разложением функции в степенной ряд.
Формула (6) является источником новых разложений. Разложение функции . Заменяя в разложении (7.18) на , получим
(7.19)
Считая , можно ряд (7.19) проинтегрировать по t в пределах от 0 до х. Получим:
Отсюда
(7.20)
если . Можно показать, что это разложение справедливо также при = 1.
Разложение функции .Аналогично, полагая в (6) и интегрируя полученное равенство по от 0 до х, получим разложение функции :
(7.21)
справедливое для . Можно доказать, что это разложение остается верным и при х = 1, и при .
Теорема единственности.
Функция . Для этой функции производные любого порядка равны ей самой , Отсюда , Значит, функция имеет следующий ряд Маклорена:
Этот ряд сходится на всей числовой оси.
Функция . Тогда , , , и т.д. Отсюда получаем , , , и т.д. Таким образом, все производные четных порядков (в нуле) равны нулю, а нечетные производные равны 1 или –1. Поэтому функция имеет следующий ряд Маклорена:
Ряд (7. ) сходится при любом .
Функция . Тогда , , , и т.д. Отсюда получаем , , , и т.д. Таким образом, все производные нечетных порядков (в нуле) равны нулю, а четные производные равны 1 или –1. Поэтому функция имеет следующий ряд Маклорена:
Ряд (7. ) сходится при любом .
Одним из важных приложений степенных рядов является их использование в приближенных вычислениях. С помощью рядов можно, например, приближенно вычислять значения функций, определенных интегралов и т.д..
Пример 7.16
Вычислить значение с точностью до 0,0001.
Решение
По формуле (7.12) получаем:
Оценим погрешность, получаемую при отбрасывании всех членов этого ряда, начиная с пятого:
Значит, с точностью до 0,0001 имеем:
.
Пример 7.17
Вычислить интеграл с точностью до 0,0001.
В разложение () вместо подставим . Получим
Отсюда (п. 2)
Это знакочередующийся ряд, удовлетворяющий теоремеЛейбница (см. 34, п. 4). Так как то для получения нужной точности достаточно взять первые два члена ряда (15).