Второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение

(6.46)

где - заданная функция, а и - числовые (постоянные) коэффициентыназывается неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Замечание. Отметим, что в общем случае и могут быть функциями переменной . Но мы будем рассматривать только случай, когда и постоянные.

Если , то уравнение принимает вид:

(6.47)

Уравнение (6.29) называется однородным линейным, дифференциальным уравнением второго порядка.

Теорема 6.1. (О структуре общего решения уравнения (6.45)).

Общее решение уравнения (6.45) имеет вид:

(6.48)

где и - линейно независимые функции, удовлетворяющие уравнению (6.45), (т.е. являющиеся решениями этого уравнения) а и - произвольные постоянные.

Из этой теоремы следует, что для отыскания общего решения уравнения (9.45) нужно найти две функции и (линейно независимые), для которых выполняются равенства

(6.49)

Функции и называются линейно зависимыми, если существует число такое, что для всех значений в рассматриваемом интервале выполняется тождественное соотношение

(6.50)

Если такого не существует, то функции и называются линейно независимыми.

Доказательство. Докажем сначала, что (6.48) является решением дифференциального уравнения (6.47). Для этого подставим функцию (6.48) в уравнение (6.47), получим

= .

Обращение в ноль всего выражения является следствием равенства нулю выражений в круглых скобках в двух последних слагаемых, что является следствием тождеств (6.49).

Следовательно, выражение (6.48) является решением уравнения (6.47), и поскольку это решение содержит две произвольные постоянные, то оно является общим решением однородного уравнения (6.47). Теорема доказана.

Отметим, что требование линейной независимости функций и является обязательным. Действительно, предположим, что функции линейно зависимы. Тогда из равенства (6.50) следует, что . Подставим последнее равенство в решение (6.48), получим =

= . Если обозначить , тогда полученное решение примет вид , Эта функция, конечно, будет решением уравнения (6.47), однако это решение не является общим, так как содержит одну произвольную постоянную.

Пусть в линейном однородном уравнении (6.47) и - постоянные действительные числа.

Частное решение уравнения (6.47) будем искать в виде функции

(6.51)

где - действительное или комплексное число, подлежащее определению. Дифференцируя по выражение (6.51) , получим:

(6.52)

Внося выражения (6.51) и (6.52) в уравнение (6.47), будем иметь:

(6.53)

Отсюда, учитывая, что , имеем:

(6.54)

Алгебраическое уравнение (6.54) называется характеристическимуравнением однородного уравнения (6.47). Характеристическое уравнение и дает возможность найти . Уравнение (6.54) есть уравнение второй степени и потому имеет два корня. Обозначим их через и . Возможны три случая.

1) Корни и действительные и различные ( ).В этом случае по формуле (6.51) получим два частных решения уравнения (6.47) , , которые являются линейно независимыми. Действительно, если бы эти решения были линейно зависимы, то в интервале должно было бы выполняться тождество ( и одновременно не нули) или тождество . Отсюда , что невозможно, так как справа в последнем тождестве постоянное число, а слева функция переменной . По теореме 6.1 общее решение уравнения (6.47) будет

Пример 6.11.

Найти общее решение уравнения .

Решение

Составим характеристическое уравнение: . Оно имеет два различных действительных корня и . Поэтому общее решение есть .

2) Корни и действительные и равные .В этом случае одно частное решение уравнения (6.47) выразится функцией . Можно показать, что частным решением уравнения (6.47) в случае 2) будет также функция . Заметим, что решения и линейно независимы. По теореме 6.1, общее решение уравнения (6.45) будет или