Первого порядка

Дифференциальные уравнения

В самом общем случае ДУ первого порядка содержит независимую переменную , неизвестную функцию и производную первого порядка этой функции . Поэтому в общем виде ДУ первого порядка можно представить так:

.

(6.13)

Примером записи ДУ в форме (6.13) является уравнение (6.3).

Если из соотношения (6.13) можно выразить в виде

,

(6.14)

то такая форма записи ДУ называется уравнением, разрешенным относительно производной. В качестве примера, из уравнения (6.3) выразим , получим

.

(6.15)

В уравнении (6.15) .

Функция , удовлетворяющая уравнению (6.14) и содержащая одну произвольную постоянную, называется общим решением этого уравнения. Часто это решение можно получить только в неявной форме

.

(6.16)

или

.

(6.17)

В этом случае соотношение (6.16) или (6.17)называ­ется общим интегралом уравнения (6.14).

Решить или проинтегрировать данное дифференциальное урав­нение — значит найти его общее решение в той или иной форме. Постоянную можно найти, если задано начальное условие – значение искомой функции в некоторой точке

.

(6.19)

Здесь это некоторое известное число.

Решение, которое получается из общего решения при некотором фиксированном значении произвольной постоянной , называется частным решением.

Задача отыскания решения ДУ (6.14), удовлетворяющего начальному условию (6.19), называется задачей Коши.

ДУ первого порядка может быть записано также в форме:

.

(6.20)

Отметим, что формы записи уравнений (6.14) и (6.20) эквивалентны. От записи уравнения в форме (6.14) можно перейти к записи в виде (6.20) и наоборот.