Контрольная работа №5.

Контрольная работа №5

Производная и дифференциал
ТЕМА 5. Производная и дифференциал

1. Производная.

2. Дифференциал.

3. Производные и дифференциалы высших порядков.

4. Свойства дифференцируемых функций.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бугров Я.С., Никольский СМ. Высшая математика: Учеб.для вузов:в Зт.-5-е изд.,стер.-М.:Дрофа .- (Высшее образование. Современный учебник).т.2. Дифференциальное и интегральное исчисление.-2003.-509 с.

2. Пискунов Н.С Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. пособие: в 2-х т.- Изд. стер. -М.: Интеграл - Пресс. Т.1. -2001.- 415 с.

3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Учеб. для вузов: в 3-х томах. - 8-е изд.-М.: Физматлит. т. 1 - 2001. -697 с.

4. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие. -22-е изд., перераб.- СПб: Профессия, 2003.-432 с.

5. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Учеб. для вузов: В 3-х томах. - 5-е изд., перераб. и доп. -М.: Дрофа. Т.1. - 2003.-703 с.

6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Учеб. для вузов в 2-х частях. - 6-е изд. стер. -М. Физматлит, 2002, -646 с.

7. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (с решениями): в 2 ч./ Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.-6-е изд..-М.: ОНИКС 21 век, ч.2. -2002.-416 с.

Решение типового варианта

Пример 1.

Найти производные заданных функций

а) ;

Решение:

;

.

б) ;

Решение:

Используем формулу .

.

в) ;

Решение:

Используем формулу .

.

г) ;

Решение:

Используем формулу .

, где ;

.

д) ;

Решение:

Используем формулу .

, где ;

.

е) ;

Решение:

Пример 2.

Найти :

а) .

Решение:

Функция в примере задана неявно. Чтобы найти ее производную продифференцируем обе части равенства по x, полагая, что у есть функция от х и обозначая производную у через :

.

Выразим из полученного равенства :

;

.

б) .

Решение:

Аналогично предыдущему примеру:

;

;

.

в)

Решение:

Используем формулу .

.

Пример 3.

Найти :

а) ;

Решение:

;

б) .

Решение:

Пример 4.

Найти дифференциал функции , если .

Решение:

Воспользуемся свойством логарифма частного для упрощения формулы:

.

Используем формулу .

;

Пример 5.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой .

Решение:

Найдем ординату точки касания:

.

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке :

.

Подставляем значения и в уравнение касательной :

,

получили уравнение касательной .

Подставляем значения и в уравнение нормали :

,

получили уравнение нормали .

Контрольная работа №5.

Вариант 1

1. Найти производные

а) ,

б) ,

в) ,

г) ,

д) ,

е) ,

ж) ,

з) ,

и) ,

к) ,

л) ,

м) .

2. Найти :

а) ,

б) ,

в)

3. Найти :

4. Найти дифференциал функции:

5. Составить уравнения касательной и нормали к линии в точке с абсциссой .