Замечание.

Отметим, что на концах интервала сходимости построенного ряда, при , разложение справедливо, для , при - для .

Примеры.

1) , так как , то заменяя х на имеем

2)

3)

, где

4)

§6. Применение рядов к приближенным вычислениям значений функций

Пусть требуется вычислить значение функции при , с заданной точностью .

Если функцию в интервале можно разложить в степенной ряд:

и , то точное значение равно сумме этого ряда при , то есть

, а приближенное значение – частичной сумме , то есть .

Точность этого равенства увеличивается с ростом n. Абсолютная погрешность этого равенства равна модулю остатка ряда, то есть

, где . Таким образом, ошибку можно найти, оценив остаток ряда.

Для рядов Лейбницевского типа, . А в остальных случаях составляют ряд из модулей членов ряда и для него стараются найти положительный ряд с большими членами, который легко бы суммировался. И в качестве оценки берут величину остатка этого нового ряда.

Примеры.

1)

Ряд сходится абсолютно, так как

, а , то для нахождения с точностью до 0,001 достаточно первых трех слагаемых:

.

Допускаемая при этом ошибка меньше, чем первый отброшенный член (то есть < чем 0,0002).

§7. Приближенное вычисление определенных интегралов с помощью степенных рядов

Бесконечные ряды применяются для приближенного вычисления определенных интегралов в случаях, когда первообразная не выражается через элементарные функции, либо нахождение первообразной затруднено.

Пусть требуется вычислить с точностью до .

Пусть в интервале подынтегральную функцию можно разложить в ряд по степеням разности х-с . Тогда для любого отрезка , содержащегося в этом интервале , будет выполняться теорема о почленном интегрировании ряда.

Ошибку вычисления определяют так же, как и при вычислении значений функций.

до .

, то с точностью до 0,001, имеем: