Условный экстремум и экстремум глобальный

Пусть задана z=f(x;y) и пусть аргументы х и у связаны условием ф(x;y)=a. В силе этого переменные х и у в некотором смысле зависимы.

Опред. Числовое значение f(Mo) называют условным экстремумом в точке Мо, а Мо точкой условного экстремума, если в некоторой одномерной окрестности тоски Мо на линии ф(х;у)=а это значение будет наибольшим (наименьшим).

Сначала получим необходимое условие существования такого экстремума. Руководствуемся Рис 5.1. Пусть задана линия связи ф(х;у)=а и несколько линий уровня функции z=f(x;y) : z=C₁, z=C₂, z=C₃, z=C₄, z=C₅ . Пустьконстанты связаны соотношением C₁<C₂<C₃<C₄<C₅ Тогда точки пересечения линии связи ф(х;у)=а и линий уровня z=C₁, z=C₂, z=C₃, z=C₄ не могут быть точками условного максимума функции z=f(x;y), т.к. при движении через эти точки пересечения значение z=f(x;y) только возрастает. Единственной подозрительной на наличие максимума точкой будет точка Мо, т.к. с одной стороны от нее значение z=f(x;y) возрастает с приближением к Мо, а со второй

С₅

С₄ М_о

С₃ М₁

С₂

С₁

Рис 5.1. К условному экстремуму

стороны убывает. Таким образом точка соприкосновения линии связи и линии уровня дает подозрение на наличие экстремума. Подозрение, но не уверенность, т.к. точкой соприкосновения будет и М₁ . Однако при переходе через М₁ значения функции строго возрастают. И потому в М₁ нет экстремума.

Вывод. В точке условного экстремума линия связи касается некоторой линии уровня, проходящей через эту точку. Отсюда получим соотношения для поиска точек возможного экстремума.

Условием соприкосновения является наличие общей касательной. Т.е. равенство их угловых коэффициентов. Для линии связи ф(х;у)=а угловой коэффициент равен Кф= , а для линии уровня Kf= . Приравняем эти отношения и получим = =-l. Откуда получаем необходимые условия существования условного экстремума

f’_x(Mo)+l ф’_x(Mo)=0, Константа l носит название множи-

f’_у(Mo)+l ф’_у(Mo)=0, теля Лагранжа. Если ввести обозна-

ф(Мо)=0. чение U(x;y;l)=f(x;y)+lф(х;у), то необ-

ходимые условия принимают вид

U’_x(Mo)=0,

U’_y(Mo)=0,

ф(Мо)=0.

Достаточные условия. Пусть z=f(x;y) и ф(x;y) имеют в Мо частные производные до 2-го порядка включительно. Если

= <0 ,то Мо – точка минимума, если >0, то Мо – точка максимума. Естественно, в качестве точки Мо берут точку из необходимых условий.

Установим смысл параметра l в необходимых условиях. Пусть константа а (правая часть уравнения линии связи) меняется непрерывно. Тогда вместе с ней меняются и координаты точки Мо(х_о;у_о) экстремума и само значение z_экстр . Найдем = + . По аналогии от линии связи + =1.

Используем тот факт, что =-l и =-l и получим l= - т.е. параметр l указывает скорость изменения экстремума в направлении изменения а. Но этом основан метод наискорейшего спуска для поиска экстремума приближенным методом.

Т.к. решить систему необходимых .условий затруднительно, то начинают поиск приближения с произвольной точки Мо. В этой точке z убывает быстрее всего в направлении –grаdZ. Тогда двигаются в указанном направлении и находят минимум f(x_o-f’_xt;y_o-f’_yt) при некотором t. Затем все повторяют из точки нового минимума.

Если же нужно отыскать экстремум в ограниченной замкнутой области D с границей Г – глобальный экстремум, то из двух вышеперечисленных задач для работы отбирают : системы необходимых условий существования локального и условного экстремумов. Затем для полученных точек, подозрительных на наличие экстремума, вычисляют значения функции и из полученных величин выбирают нуэное экстремальное значение.