Локальный экстремум

Определение экстремума перенесем из функций одного переменного.

Теорема. Если z=f(x;y) непрерывна в окрестности точки Мо. Дифференцируема там и имеет в точке Мо экстремум, то имеют место равенства . Доказательство. Пусть для определенности Мо – точка максимума. Тогда в любой окрестности этой точки справедливо f(x;y)< f(х_о;у_о). Это значит. Что дифференцируемая по х функция f(х;у_о) удовлетворяет необходимым условиям существования экстремума, т.е. f’_x(х_о;у_о)=0. Аналогичные рассуждения приведут ко второму равенству.

Комментарий. Следует помнить, что условия теоремы не являются достаточными. Так функция z=x²-y² удовлетворяет необходимым условиям наличия экстремума в точке (0;0), но там экстремума нет (см. раздел 6 т.к. эта поверхность – гиперболический параболоид), а есть минимакс.

Теорема (достаточные условия существования экстремума). Пусть в -окрестности точки Мо функция z=f(x;y) имеет непрерывные до второго порядка включительно частные производные и выполняются необходимые условия наличия экстремума. Тогда при =( f’’_xу)²- f’’_xx f’’_уу)<0 в точке Мо имеется экстремум; если >0 , то экстремума нет; если =0, то требуются дополнительные исследования.

Док. Запишем формулу Тейлора для функции в окрестности Мо с точностью до R₂ . f(M)=f(х_о;у_о)+ f’_x(х_о;у_о)(х- х_о)+f’_у(х_о;у_о)(у- у_о)+

+0,5(f’’_xx(х_о;у_о)(х- х_о)²+2 f’’_xy(х_о;у_о)(х- х_о)(x- y_о)+ f’’_yy(х_о;у_о)(y-y_о)²)+ R₂ . первые два слагаемые выпадают по необходимому условию. И тогда знак разности f(M)-f(х_о;у_о) определяется знаком трехчлена

f’’_xx(х_о;у_о)(х-х_о)²+2f’’_xy(х_о;у_о)(х-х_о)(x-y_о)+ f’’_yy(х_о;у_о)(y-y_о)² Т.е. знаком величины

(х-х_о)² (f’’_xx(х_о;у_о)+2 f’’_xy(х_о;у_о)t+ f’’_yy(х_о;у_о)t²). Т.к. нам требуется гарантировать постоянство знака у разности f(M)-f(х_о;у_о), то это будет, если дискриминант трехчлена меньше нуля. Получаем требование для наличия экстремума

=( f’’_xу)²- f’’_xx f’’_уу)<0, что и требовалось . Если же знак положителен, то невозможно гарантировать постоянство знака разности f(M)-f(х_о;у_о), а это говорит об отсутствии экстремума. Если же =0. То исследование следует продолжить, т.к. все опирается теперь на слагаемые более высокого порядка в формуле Тейлора.

Следствие. Если наличие экстремума обеспечено, то условие f’’_уу<0 (или эквивалентное ему f’’_xx<0) указывает тип экстремума – максимум. Если же f’’_уу>0 (или эквивалентное ему f’’_xx>0) , то тип экстремума – минимум.

Как видим поиск локального экстремума весьма трудоемкая работа. Самое трудное – решение системы необходимых условий. Поэтому для поиска экстремумов используют приближенные численные методы (покоординатный, градиентный, случайный и др. методы спуска).