Основные понятия и определения

Введение в математический анализ

Множество R действительных чисел состоит из двух подмножеств (два подмножества сотавляют множество) : Q – множество рациональных чисел вида (несократимая дробь) и J - множество иррациональных чисел (нерациональных, которые невозможно представить в виде ).

Основные свойства R.

Упорядоченность - между любыми х и у из R имеет место одно из соотношений : либо х < у, либо х=у, либо х > у.

Плотность - между любыми х и у из R такими , что х у , содержится бесконечно много чисел из R.

Непрерывность. Пусть все R разбиты на два класса : нижний А и верхний В так. что каждое х принадлежит только одному классу и притом х такое , что для х А и у В имеет метсто х < у. Тогда такое разбение (сечение) определит единственное действительное, пограничное для разных классов. Само оно (это пограничное) либо наибольшее из А и тогда в В нет наименьшего; либо оно (это пограничное) наимеьшее в В и тогда в А нет наибольшего. (В этом смысл теоремы Дедекинда).

Все, что можно измерить и выразить числом (в дальнейшем по умолчанию рассматриваем только действительные числа )– величина.

Простейшая классификация величин: постоянная, перменная, параметр. Такая классификация условна. Для обозначения постоянных по умолчанию принято использовать начальные буквы латинского алфавита a, b , c,… Для переменных – заключительные буквы латинского алфавита x, y , z … Для параметров – p,q,t … (Для целых и натуральных принято использовать буквы i,j,k,l,m,n).

Для измерения и изображения величин используют шкалы . Шкала – это прямая (кривая) с указанным началом отсчета (нулем) , направлением и масштабной единицей. Шкалы используют равномерные и неравномерные – вес зависит от требований практики. Как правило будем использовать равномерные прямолинейные шкалы – числовые оси. Числа и соответствующие им точки на числовой оси обозначают одними и теми же буквами х. И говорят точка (число).

Произвольное подмножество из R обозначают Х (большое).

Принадлежность числа х множеству Х обозначают х Х.

Примеры наиболее распространенных подмножеств.

Отрезок – это Х=[a,b] ={x a x b}. Иногда говорят - сегмент.

Промежуток (интервал) – это Х=(a,b) ={x a <x < b}.

Полуинтервал (полуотрезок) – это Х=[a,b) ={x a x < b}. Cкобки и неравенство могут быть в другом месте (около b).

С – верхняя граница множества Х, если х С имеет место x С.

С – нижняя граница множества Х, если х С имеет место x С.

Наибольшая из нижних границ – точная нижняя грань. Аналогичное определение точной верхней грани множества.

Окрестность точки х_о – любой промежуток, содержащий точку х_о .

- окрестность точки х_о – промежуток длиной 2 с центром в этой точке, содержащий точку х_о . Обозначается (принято) (х_о– ; х_о+ ).