Ряды Фурье

Наряду со степенными рядами к наиболее распространенным функциональным рядам относятся ряды Фурье.

Классический ряд Фурье – это ряд вида

где постоянные коэффициенты. Таким образом, ряды Фурье - тригонометрические, а их сумма - периодическая функция с периодом .

Данное обстоятельство существенно ограничивает область применимости рядов Фурье, так как далеко не всякий реально происходящий процесс является периодическим, да еще с периодом . Поэтому основные усилия математиков были направлены на смягчение указанных ограничений путем внесения некоторых дополнительных условий, о чем будет сказано ниже.

Рассмотрим систему функций, входящих в ряд Фурье

Эта система функций обладает двумя важнейшими свойствами - ортогональностью и полнотой.

Определение 1. Систему функций называют ортогональной на некотором промежутке , если выполняются условия:

, .

Когда , система называется нормальной.

Покажем, что система функций

является ортогональной системой на интервале . Для этого вычислим несколько интегралов

, ,

Итак, доказано, что интегралы от произведений разных функций этой системы равны нулю, интегралы от произведений одинаковых функций равны и . Ортогональность системы функций доказана.

Определение 2. Система функций является полной в заданном промежутке, если нет ни одной, не входящей в эту систему, функции, кроме функции, тождественно равной нулю, ортогональной функциям системы.

Например, система косинусов не обладает полнотой, так как любой ортогонален и к 1, и ко всем функциям . Следствием этого является то, что в ряды по косинусам можно разлагать не все, а только четные функции. По той же причине не обладает полнотой и система синусов , что позволяет разлагать в ряд Фурье по синусам только нечетные функции. Доказательство полноты достаточно сложно, поэтому ограничимся утверждением, что вышеприведенная система тригонометрических функций полна.

Полнота системы функций обеспечивает единственность разложения в ряд Фурье (представления в виде ряда Фурье) любой, удовлетворяющей некоторым условиям, функции, что весьма ценно при решении с помощью рядов Фурье всевозможных уравнений.

Определение 3. Если функция в некоторой области имеет конечное число точек разрыва первого рода (конечные разрывы), а между этими точками она непрерывна, такая функция называется кусочно-непрерывной.

Определение 4. Если в некоторой области функция имеет конечное число точек, между которыми она дифференцируема, а в самих этих точках существуют конечные значения левых и правых пределов, как самой функции, так и ее производной, то она называется кусочно-дифференцируемой в этой области.

Теорема. Для любой кусочно-дифференцируемой, периодической с периодом функции ее ряд Фурье сходится, а его сумма равна

здесь правый и левый пределы функции при (теорема приводится без доказательства).

Следствие. Сумма ряда равна , если функция непрерывна.

Известно, что ряд Фурье, представляющий разложение периодической непрерывной функции, сходится равномерно.

Разложение в ряд Фурье периодической функции

Теорема. Если периодическая функция непрерывна (или кусочно-непрерывна), то значение интеграла не зависит от .

Доказательство. .

В последнем интеграле сделаем замену переменной

что следует из периодичности подынтегральной функции. Тогда

Теорема доказана, поскольку .

Пусть периодическая, кусочно-дифференцируемая функция, следовательно, она разложима в ряд Фурье

Определим коэффициенты этого разложения, для чего умножим обе части равенства на и проинтегрируем в пределах от до . Тогда

Из ортогональности системы тригонометрических функций, это было доказано выше, следует, что интеграл , а все остальные интегралы в правой части равенства равны нулю. В этом случае

Нетрудно заметить, что полученная формула справедлива для .

Умножим обе части исходной формулы на и проинтегрируем в тех же пределах

Также из ортогональности рассматриваемых функций следует , все остальные интегралы в правой части равенства равны нулю, отсюда имеем

Здесь при интегрировании использовалась только что доказанная теорема.

Таким образом,

причем , .

Разложение в ряд Фурье периодической функции

Обобщим полученный результат на функции с периодом . Очевидно, такая возможность несколько расширяет область применимости рядов Фурье.

Пусть дана кусочно-дифференцируемая, периодическая с периодом функция, то есть удовлетворяющая условию . Перейдем от переменной к переменной , считая при этом . Тогда функция , причем осталась периодической, но ее период стал . Проверим это:

Отсюда имеем , что требовалось доказать.

Теперь воспользуемся разложением в ряд Фурье периодической функции

причем , .

Сделаем обратную замену , тогда

при этом

Таким образом, периодическая, кусочно-дифференцируемая функция может быть представлена в виде ряда Фурье

Где

, .

Разложение в ряд Фурье четной, или нечетной

периодической функции

Лемма 1. , если подынтегральная функция нечетна.

Доказательство. Очевидно, , сделаем в первом интеграле правой части замену переменной с учетом того, что ,

Тогда . Доказано.

Лемма 2. , если подынтегральная функция четна.

Доказательство. В первом интеграле правой части равенства сделаем ту же замену переменной с учетом четности подынтегральной функции , тогда

В результате .

Разложение четной функции

1а). Имеем четную, периодическую с периодом функцию . Воспользуемся ее представлением рядом Фурье

где

, .

Поскольку - четная функция, также четная функция как произведение четных функций, а - нечетная как произведение четной и нечетной функций. В соответствии с леммами 1 и 2, имеем , тогда

где .

1в). Если - четная, периодическая, кусочно-дифференцируемая функция, как частный случай получаем

причем .

Разложение нечетной функции

2а). Пусть - нечетная, периодическая с периодом функция. Воспользуемся формулами

где

, .

Поскольку в первом интеграле подынтегральная функция нечетна, а во втором четна, то , и

где .

2в). Для нечетной, периодической с периодом функции имеем

где

Разложение в ряд Фурье непериодической функции,

заданной в некотором промежутке

I. Пусть кусочно-дифференцируемая функция интересует нас только в промежутке . Как представить ее в виде ряда Фурье? Поскольку разложение непериодической функции в ряд Фурье невозможно, поступают следующим образом. Вместо заданной на интервале функции рассматривается периодическая с периодом функция , которая периодически продолжает функцию на всю числовую ось, то есть на каждом интервале длиной всей числовой оси она принимает значение .

Теперь функция , как периодическая, может быть представлена в виде ряда Фурье

где

, .

Но при определении коэффициентов разложения интегрирование происходит на интервале , где функции и совпадают, следовательно, в этом промежутке одну из этих функций можно заменять другой. Совершив замену функций, получаем, что в промежутке можно использовать разложение

где

, .

При этом возникают некоторые проблемы. Вне промежутка и на его границах значения функций и различаются. Известно, что

Таким образом, на границах интервала значения функций и совпадают только в случае .

Вне интервала функции и , как правило, вообще не имеют ничего общего.

В итоге, если исследователя интересуют только внутренние точки интервала и не важно различие значений функций и на границах этой области, для непериодической функции можно использовать разложение

где

, ,

причем в определении коэффициентов ряда функция фактически не участвует.

Пример замены заданной в промежутке функции периодической функцией приведен на рисунках 50 и 51.

Рисунок 50. Рисунок 51.

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию на интервале .

Рисунок 52.

Очевидно,

причем

Тогда

Нетрудно заметить, что функция на границах интервала принимает значения и , тогда как ряд Фурье на обеих границах дает значение 2.

II. Пусть кусочно-дифференцируемая непериодическая функция рассматривается в промежутке . В этом случае необходимо продолжить заданную функцию на интервал , затем применить процедуру, описанную в пункте I. Поскольку на область функция может быть продолжена произвольным образом, появляется несколько вариантов продолжения, и при решении конкретной задачи можно использовать наиболее удобный из них. Рассмотрим несколько вариантов продолжения. Один из них – продолжить функцию так, чтобы она стала четной, тогда разложение в ряд будет содержать только косинусы. Второй вариант – продолжить функцию так, чтобы она стала нечетной, ряд Фурье будет содержать только синусы. Третий вариант – считать в области функцию равной нулю, тогда в ряде Фурье будут присутствовать и синусы, и косинусы, а при определении коэффициентов разложения интегрирование будет проводиться от 0 до . Возможны и другие варианты продолжения функции.

В разложении в ряд Фурье с помощью МАКСИМЫ используются следующие команды

Первая команда показывает, что имеет место разложение в ряд Фурье, вторая команда задает разлагаемую функцию, переменную разложения и полупериод разложения. На выходе выдаются коэффициенты ряда Фурье. Третья команда выдает, и коэффициенты, и весь ряд Фурье.

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на интервале . Рассмотрим два варианта решения.

А) Продолжим функцию на область естественным образом, то есть рассмотрим ее на интервале . Поскольку , а функция нечетна, ее разложение имеет вид

где

Тогда

Заметим, что в граничных точках интервала сама функция принимает значения и 1 а ряд Фурье в этих точках дает значение, равное 0.

Разложение с помощью МАКСИМЫ функции, заданной на интервале,

Отметим, что в последней команде приводится общий вид коэффициента и упрощенный вариант, учитывающий, что n – целое.

В) Продолжим на интервал функцию как четную, тогда ее график будет совпадать с графиком функции :

Рисунок 53.

В этом случае

причем

Очевидно, .

При помощи МАКСИМЫ разложим функцию , или функцию , заданную на интервале , продолженную на область как четную

Примеры для самостоятельного решения

Разложить в ряды Фурье на указанных интервалах следующие функции

16.9. , 16.10. ,

16.11. , продолжив ее как четную,

16.12. , продолжив ее как нечетную.

Интеграл Фурье

Еще один вариант представления непериодической функции в виде ряда Фурье заключается в том, что период функции принимается . Тогда ряд Фурье переходит в интеграл Фурье. Покажем, как это делается.

Запишем вначале ряд Фурье для промежутка

где

, .

При определении коэффициентов интегрирование по переменной заменено интегрированием по , что не меняет сути дела, но необходимо для дальнейшего вывода формул. Подставляем значения коэффициентов в ряд

откуда следует

. (*)

Пусть функция определена на промежутке и разложима на интервале при любом, сколь угодно большом, значении . Осуществим переход к пределу в формуле (*) при . Интеграл должен принимать конечное значение, в противном случае разложение в ряд Фурье невозможно, тогда первое слагаемое в формуле (*) при стремится к нулю. Преобразуем оставшийся член, обозначив,

что равносильно разбиению интервала на равные отрезки длиной . Тогда второе слагаемое суммы (*) принимает вид

или

Полученное выражение очень напоминает интегральную сумму Римана для функции на интервале . Переходя к пределу при , получаем

С помощью формулы для косинуса разности полученное соотношение можно представить следующим образом

где

Таким образом, получено представление функции через интеграл Фурье. Имеет место теорема, которая утверждает, что если эта функция кусочно-дифференцируема в каждом конечном промежутке и абсолютно интегрируема в промежутке , то в любой точке промежутка ее интеграл Фурье сходится и имеет значение

Для непрерывной в области функции интеграл Фурье сходится и принимает значение .