При рассмотрении комплексных чисел использовалась без доказательства формула Эйлера . Теперь появилась возможность ее доказать. Используем разложение функции
.
Примем (в разложении использована договоренность, что ). Тогда
.
Если учесть, что и т.д., то
,
Сравнивая полученное выражение с разложениями
,
,
нетрудно убедиться, что формула Эйлера справедлива.
. Теперь появилась возможность ее доказать. Используем разложение функции
.
(в разложении использована договоренность, что 
). Тогда
.
и т.д., то
,
,
,