Знакоположительные числовые ряды

Начнем с теорем сравнения знакоположительных рядов.

Первая теорема сравнения. Даны два знакоположительных числовых ряда и , причем . Из сходимости большего ряда следует сходимость меньшего ряда. Из расходимости меньшего ряда следует расходимость большего ряда.

Доказательство.

1) Пусть ряд сходится, и его сумма конечна. Рассмотрим частичные суммы обоих рядов и . Так как члены обоих рядов положительны, при любом имеем , из условия имеем . Рассмотрим последовательность частичных сумм ряда . Она монотонно возрастает с ростом (суммируется все большее число положительных членов). В то же время она ограничена сверху числом . Но имеется теорема, утверждающая, что монотонно возрастающая и ограниченная сверху последовательность имеет конечный предел. Итак, , следовательно, является суммой ряда .

2) Пусть ряд расходится. Поскольку все его члены положительны, его сумма равна бесконечности. По условию теоремы , следовательно, , то есть при неограниченном возрастании суммы неограниченно растет и сумма . Больший ряд также расходится.

Вторая теорема сравнения (упрощенная постановка). Даны два знакоположительных ряда и , причем , в этом случае оба ряда ведут себя одинаково: либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Доказательство. Из следует, что

Из записанной формулы следует, что начиная с и для всех остальных выполняется неравенство , из которого имеем , или .

1)Рассмотрим правую часть неравенства. Пусть ряд сходится, тогда сходится и его остаток , следовательно, сходится и ряд . Поскольку , из первой части первой теоремы сравнения следует сходимость ряда , а, следовательно, и самого ряда .

2) Пусть ряд расходится, тогда расходится и его остаток . Подберем так, чтобы , тогда ряд тоже расходится. Но из левой части полученного выше неравенства следует, что , значит, члены ряда больше членов расходящегося ряда, из первой теоремы сравнения следует, что ряд расходящийся, расходится и ряд .

Доказано, что из сходимости (расходимости) ряда следует сходимость (расходимость) ряда .

Рассмотрим теперь . Очевидно, , то есть условия только что доказанной теоремы выполнены. Но в этом случае можно утверждать, что из сходимости (расходимости) ряда следует сходимость (расходимость) ряда . Итак, ряды при выполнении условий теоремы ведут себя одинаково.

Доказаны две важнейшие теоремы. Однако для сравнения рядов необходимо иметь информацию о сходимости или расходимости хотя бы нескольких рядов, с которыми можно было бы сравнивать другие ряды.

Для этой цели рассмотрим несколько достаточных условий, позволяющих исследовать сходимость конкретных рядов.

Признак Даламбера

сходимости знакоположетельных рядов

Теорема. Ряд при условии сходится, когда расходится, если признак Даламбера неприменим.

Доказательство. Если , то

откуда следует

1) Для доказательства первой части теоремы воспользуемся правой частью неравенства, записав его в виде , где , . По условию теоремы . Зададим настолько малым, чтобы . Тогда

……………………

Рассмотрим теперь два ряда

Нижний ряд представляет собой сходящуюся геометрическую прогрессию, так как . Члены верхнего ряда меньше соответствующих членов нижнего ряда, на основании первой теоремы сравнения ряд сходится. Но этот ряд является остатком рассматриваемого ряда , следовательно, он тоже сходится.

2) Для доказательства второй части теоремы при воспользуемся полученным ранее неравенством, подобрав так, чтобы . Тогда , то есть положительные члены ряда растут с ростом . Очевидно, , но ряд может сходиться только в случае . Ряд расходится.

3) При условии невозможно доказать сходимость, или расходимость ряда. Следовательно, в этом случае признак Даламбера неприменим.

Рекомендация. Признак Даламбера дает положительный ответ практически всегда, если общий член ряда содержит показательную функцию или факториалы.

Пример 1. . Очевидно, . Тогда

. Ряд сходится.

Пример 2. . .

Чтобы решить этот пример, вспомним некоторые формулы для "факториала" , .

Ряд расходится.

Радикальный признак Коши

сходимости знакоположительных рядов

Теорема. Дан ряд . Если , а , то ряд сходится, при ряд расходится, при признак не работает.

Доказательство. Из следует, что

другими словами, начиная с некоторого и для всех последующих , оттуда следует , или , где , .

1. Докажем справедливость первого утверждения теоремы. В этом случае , зададим так, чтобы выполнялось . Из правой части полученного двойного неравенства следует, что . Если сравнить ряды и , то члены первого ряда меньше соответствующих членов второго ряда, являющегося сходящимся как геометрическая прогрессия со знаменателем меньшим единицы. Из первой теоремы сравнения рядов следует, что ряд , то есть остаток ряда сходится, следовательно, сходится и сам ряд.

2. При доказательстве второго утверждения теоремы учтем, что и зададим так, чтобы . Воспользуемся левой частью двойного неравенства . Сравним ряд с расходящейся геометрической прогрессией . И поскольку члены ряда больше соответствующих членов расходящейся геометрической прогрессии, он расходится. Так как этот ряд является остатком ряда , то и сам ряд расходится.

3. При ряд может как сходиться, так и расходиться, следовательно, признак неприменим.

Замечание. Радикальный признак удобно применять, когда хорошо извлекается корень й степени из общего члена ряда.

Пример 1. . , ряд сходится.

Пример 2. . ,

ряд расходится.

Интегральный признак Маклорена – Коши

сходимости знакоположительных рядов

Теорема. Знакоположительный ряд сходится (расходится), если сходится (расходится) интеграл , причем подынтегральная функция получается из общего члена ряда заменой дискретно меняющейся переменной на действительную переменную .

Доказательство.

1) Пусть интеграл - сходится, то есть принимает конечное значение. Рассмотрим интеграл , его значение дает площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми , , и кривой . Разобьем отрезок на равных частей, длина каждого элементарного отрезка равна 1. Из точек разбиения восстановим перпендикуляры до пересечения с кривой, длины этих перпендикуляров , где - члены исследуемого ряда, что следует из условия теоремы. Построим вписанные в криволинейную трапецию прямоугольники, одна из сторон каждого из них равна 1, другие имеют длины соответственно. Подсчитаем сумму площадей вписанных прямоугольников

сумма площадей численно равна й частичной сумме ряда без первого члена. Рассмотрим последовательность частичных сумм ряда. Она растет с ростом величины верхнего предела интеграла, так как растет количество вписанных прямоугольников. В то же время любая частичная сумма ряда, как уже говорилось выше, совпадающая численно с площадью вписанных прямоугольников, не может превышать площади криволинейной трапеции, которая сама меньше значения интеграла . Итак, последовательность частичных сумм ряда монотонно возрастает и ограничена сверху, следовательно, она имеет конечный предел , но это сумма ряда по определению. Значит, ряд сходится.

2) Пусть интеграл расходящийся. Так как , то . Построим описанные прямоугольники, одна из сторон каждого из них равна 1, другие соответственно . Сумма площадей этих прямоугольников равна и совпадает с частичной суммой ряда. Поскольку сумма площадей описанных прямоугольников больше площади криволинейной трапеции, которая равна , то и частичные суммы ряда неограниченно возрастают. Очевидно, . Ряд расходится.

Итак, получен универсальный признак сходимости, который, в отличие от предыдущих двух признаков, работает всегда. Но его применение приводит к необходимости исследования сходимости несобственного интеграла, что далеко не просто, да и не всегда возможно.

Исследуем ряд с помощью интегрального признака. Для этого необходимо исследовать сходимость интеграла , что было проделано ранее. Он сходится при и расходится при . Тогда и ряд сходится при и расходится при .

Пример 1. . Вычислим интеграл

интеграл сходится и ряд тоже.

Пример 2. . Вычислим интеграл

интеграл, а вместе с ним ряд сходятся.

Исследование сходимости знакоположительных рядов с помощью МАКСИМЫ

Рассмотрим ряд

Поскольку не выполняется необходимое условие сходимости ряда (предел n - го члена равен бесконечности), он расходящийся.

Рассмотрим ряд

Поскольку предел n - го члена равен нулю, ряд может как сходиться, так и расходиться. Применение признака Даламбера дает , что меньше 1, ряд сходится.

Исследуем ряд

Проверка необходимого условия показывает, что ряд может и сходиться, и расходиться. Признак Даламбера дает 1, то есть не работает. Интегральный признак приводит к сходящемуся интегралу, следовательно, ряд сходится.

Примеры для самостоятельного решения

Исследовать сходимость рядов, используя теоремы сравнения и признаки сходимости

15.1. , 15.2. , 15.3. , 15.4. ,