Операции над множествами

Имея множества А и В, с помощью некоторых операций можно строить по ним новое множество.

Объединением (или суммой) двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А и В.

Такое множество всегда существует и оно единственное. Обозначается: . Таким образом, согласно определению

.

Пересечением (или произведением) двух множеств А и В называется новое множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Такое множество всегда существует. Обозначается (или ). По определению

.

Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат А и не принадлежат В.

Для любых множеств А и ^ В всегда существует такое множество, причем единственное. Оно обозначается А\В (или А – В). Итак,

. (7)

Если все рассматриваемые в ходе какого-либо рассуждения множества являются подмножеством некоторого множества U, то это множество называется универсальным множеством (для этого рассуждения).

Множество U\А обозначается и называется абсолютным дополнением А, т.е.

. (8)

^ Относительное дополнение множества А до множества В – это множество .

Для наглядной иллюстрации отношений, которые могут иметь место между подмножествами какого-либо универсального множества U, часто используют так называемые диаграммы Эйлера-Венна.

Следующая теорема выражает ряд свойств операций над множествами.

Теорема 1. Для любых подмножеств А, В, С универсального множества U справедливы равенства: