Понятие множества

Множества

Понятие множества – одно из основных понятий математики. Оно постепенно выделилось из привычных представлений о совокупности, собрании, классе, семействе и т.д. В 1872 г. немецкий математик Георг Кантор (1845–1918), создатель теории множеств, описал его как «объединение в одно целое объектов, хорошо различаемых нашей интуицией или нашей мыслью».

Исходя из данного положения можно сделать вывод, что объекты, входящие в множество являются определенными, т.е. можно для каждого объекта однозначно сказать, принадлежит ли оно данному множеству или нет.

Кроме этого, объекты, входящие во множество различимы между собой, следовательно, во множестве не может быть двух или более одинаковых объектов.

Все объекты, входящие во множество рассматриваются как единое целое, этим подчеркивается, что все объекты рассматриваются в совокупности, а от свойств отдельных объектов абстрагируются.

Описание понятия множества, веденное Кантором нельзя считать математическим определением, так как всякое математическое определение выражает определяемое понятие через другие, уже известные, понятия. Понятие множества нельзя свести к каким-либо уже известным понятиям и можно только пояснить на примерах. Так, например, можно говорить о множестве студентов в аудитории, о множестве компьютеров, о множестве песчинок на пляже, о множестве вершин многоугольника. Указанные примеры обладают тем свойством, что каждый из них состоит из определенного числа элементов, которые можно оценить, ограничить. Такие множества называются конечными. На практике часто приходится иметь дело с множествами, состоящими не из конечного числа элементов. Таковыми являются: множество натуральных чисел 1,2,3,…, множества точек плоскости. Такие множества называются бесконечными. К числу множеств относят и пустое множество, т. е. множество, не содержащее ни одного элемента. Обозначают его через Ø.

Множества будем обозначать большими буквами А, В, С,…, а их элементы – маленькими буквами а, в, с,… Запись означает, что а есть элемент множества А; запись означает, что а не является элементом А.

Множество А элементов обозначается так: - определение этого множества перечислением его элементов.

Другой способ задания множества – описание ограничительного свойства, выделяющего элементы одного множества среди элементов другого, более широкого или основного множества. Например:

^ Множество А называется подмножеством множества В, если все элементы А являются элементами В.

То, что А является подмножеством В, записывается так: и читается: «^ А является подмножеством В» или «А включено в В», знак называется знаком включения.

Два множества А и В называют равными и пишут А=В, если они содержат одни и те же элементы.
^