Нелинейные операции с векторами, заданными координатами

Скаля́рное произведе́ние иногда внутреннее произведение — операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины вектора x на проекцию вектора y на вектор x. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.

Обычно используется одно из следующих обозначений:

, , ,

или (обозначение Дирака, часто применяемое в квантовой механике для векторов состояния):

.

Обычно предполагается, что скалярное произведение положительно определено, то есть

для всех .

Если этого не предполагать, то произведение называется индефинитным.

Скалярное произведение

Скалярное произведение векторов и :

где - угол между векторами и ; если либо , то

Из определения скалярного произведения следует, что где, например, есть величина проекции вектора на направление вектора .

Скалярный квадрат вектора:

Свойства скалярного произведения:

Скалярное произведение в координатах

Если то

Угол между векторами

Векторное произведение

Векторное произведение векторов и - вектор, обозначаемый или для когорого:

1) ( - угол между векторами и , );

2)

3) тройка , , - правая.

Свойства векторного произведения: если , то равен площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах и .

Векторное произведение в координатах

Если , то

или

или

В частности

Некоторые соотношения

(двойное векторное произведение),

(тождество Якоби),

Смешанное произведение трех векторов

Определение:

Свойства смешанного произведения: - компланарны.

Если V - объем параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах , и , то если тройка правая, и если тройка левая.

Смешанное произведение в координатах

Если то

назад