Критерий Коши сходимости числовых рядов.

Для сходимости числового ряда необходимо и достаточно чтобы,

, или другими словами

Критерий сходимости положительных рядов (критерий Коши) — основной признак сходимости числовых рядов, установленный Огюстеном Коши.

Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху.

Теорема 2(необходимое и достаточное условие разложимости). Бесконечно дифференцируемая

на интервале сходимости функция раскладывается в ряд Тейлора тогда и только тогда, когда остаточный член в формуле Тейлора

{ По формуле Тейлора:

}

Следствие.Для разложимости в степенной ряд бесконечно дифференцируемой на интервале сходимости функции достаточно, чтобы все ее производные были ограничены одним числом.

{ }

В предыдущих лекциях рассматривались степенные ряды, для которых в пределах области равномерной сходимости сумма ряда s(x) представляет собой непрерывную и бесконечно дифференцируемую функцию от х. Теперь поставим обратную задачу: найти степенной ряд, суммой которого является данная функция.

Определение 6.1. Представление функции в виде

(6.1)

называется ее разложением в степенной ряд.

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

1. функция f имеет на интервале (x0 – R , x0 + R) производные всех порядков, которые можно найти почленным дифференцированием ряда (6.1): (6.2)

2. (6.3)

3. ряды (6.1), (6.2) и (6.3) имеют одинаковые радиусы сходимости.

Доказательство всех трех утверждений следует из общих свойств степенных рядов (теоремы 5.2 и 5.3).

Теорема 6.2. Если функция f раскладывается в некоторой окрестности точки х0 в сте-пенной ряд (6.1), то , и, следовательно, справедлива формула

(6.4)

Доказательство.

Дифференцируя т раз равенство (6.1), получим:

Примем х = х0 , тогда f(m)(x0) = m!am , что доказывает формулу (6.4).

Следствие. Если в некоторой окрестности заданной точки функция раскладывается в степенной ряд, то это разложение единственно.

Действительно, из теоремы 6.2 следует, что коэффициенты степенного ряда могут иметь только вид, задаваемый формулой (6.4).

Определение 6.2. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 и имеет в этой точке производные всех порядков. Тогда ряд

называется рядом Тейлора.