КОЛЛОКВИУМ ПО ЧИСЛОВЫМ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫМ РЯДАМ

1. Пусть задана бесконечная последовательность чисел .

Числовым рядом наз выражение вида (1).

Суммы вида , , , наз частичными суммами ряда (1).

Числовой ряд наз сходящимся, если сущ конечный предел последовательности частичных сумм: , сумма ряда. Если или не сущ, то числовой ряд наз расходящимся и суммы не имеет.

Свойства сходящихся рядов. Дан ряд .

1.Если ряд сх-ся и его сумма равна , то ряд , где некоторое число, также сх-ся и его сумма равна , т.е., если , то .

2.Если ряды и сх-ся и их суммы соответственно равны и , то ряды также сх-ся и их суммы равны , т.е, если и , то .

3. Если сх-ся ряд , то сх-ся и ряд , получаемый из данного отбрасыванием первых членов и обратно. Т.е. на сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа его первых членов.

Ряды-эталоны: обобщенный гармонич ряд, геометр. прогрес

Необходимый признак сходимости: если ряд сх-ся, то его общий член стремится к 0, при , т.е. .

2. Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда (1) и (2), причем .Тогда, если сх-ся ряд (2), то сх-ся и ряд (1); если расх-ся ряд (1), то расх-ся и ряд (2).

3. Второй признак сравнения. Пусть даны два ряда (1) и (2). Если сущ конечный и отличный от нуля предел , то оба ряда ведут себя одинаково (оба сх-ся или оба расх-ся).

4. Признак Даламбера. Если для ряда сущ предел , то при ряд сх-ся, при ряд расх-ся, при ? (дополнительное исследование).

5. Признак Коши. Если для ряда сущ предел , то при ряд сх-ся, при ряд расх-ся, при ? (дополнительное исследование).

6. Интегральный признак Коши-Маклорена сх-ти числового ряда. Если при ф-ция непрерывная, положительная и монотонно убывающая, то ряд , где , сх-ся или расх-ся в зависимости от того сх-ся или расх-ся несобственный интеграл .

7. Критерий Коши сх-ти числового ряда. Для того чтобы ряд сх-ся, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа нашелся номер такой, что для всех номеров , удовлетворяющих условию и для всех натуральных чисел выполнялось неравенство . Для док-ва достаточно заметить, что есть разность частичных сумм.

Критерий К. представляет в основном теоретический интерес, его использование для исследования рядов сопряжено с трудностями. Поэтому наличие критерия К. не снимает вопроса об установлении других практически эффективных признаков сходимости и расходимости рядов

Критерий сходимости положительных рядов (критерий Коши)—основной признак сходимости числовых рядов, установленный Огюстеном Коши. Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху.

Необходимость следует из того, что всякая сходящаяся последовательность явл ограниченной (теорема: сходящаяся последовательность ограничена).

Достаточность вытекает из того, что последовательность частичных сумм не убывает и, стало быть, для сх-ти этой последовательности достаточно, чтобы она была ограничена (теорема: если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), то она сх-ся).

Знакопеременный ряд наз абсолютно сходящимся, если сх-ся ряд составленный из абсолютных величин его членов.

Знакопеременный ряд наз условно сходящимся, (неабсолютно сходящимся) если он сх-ся, а ряд составленный из абсолютных величин его членов, расх-ся.

8. Теорема Лейбница: если в знакочередующемся ряде

1) (абсолютные величины членов ряда монотонно убывают);

2) (общий член ряда стремится к нулю при ), то ряд сх-ся, его сумма положительна и не превосходит первого члена.

9. Признак Абеля сходимости числового ряда. Дан ряд , где

и две последовательности действит чисел. Если ряд сх-ся, а числа образуют монотонную и ограниченную последовательность , то ряд сх-ся.

10. Признак Дирихле сходимости числового ряда. Дан ряд , где

и две последовательности действит чисел. Если частичные суммы ряда в совокупности ограничены: , а числа образуют монотонную последоврального ательность, стремящуюся к нулю: , то ряд сх-ся.

11. Рассмотрим сх-ся ряд (А) и будем объединять его члены произвольным образом в группы, не меняя при этом их расположения: …, где некоторая, извлеченная из натурального ряда, частичная возрастающая последовательность номеров.

Теорема о сочетательном свойстве сходящегося числового ряда. Ряд, составленный из сумм:

( )+( )+…+( )+… (А*)

всегда сх-ся и имеет ту же сумму, что и исходный ряд (сх-ся ряд обладает сочетательным свойством).

12. Дан сх-ся ряд (А), имеющий сумму . Переставив в нем члены произвольным образом, получим новый ряд: ( ). Каждый член этого ряда отождествляется с определенным членом исходного ряда.

Теорема о переместительном свойстве абсолютно сходящегося числовог ряда. Если ряд сх-ся абсолютно, то ряд , полученный из него перестановкой членов, также сх-ся и имеет ту же сумму , что и исходный ряд (абсолютно сх-ся ряд обладает переместительным свойством).

13. Теорема Римана о перестановке условно сходящегося числового ряда. Если ряд сх-ся неабсолютно (условно), то какое бы ни взять наперед число (конечное или равное ), то можно так переставить члены в этом ряде, чтобы преобразованный ряд имел своей суммой именно .

14. Пусть даны два сходящихся ряда: (А) и (В). Рассмотрим всевозможные парные произведения членов этих рядов: ; из них составим бесконечную прямоугольную таблицу:

(*)

Эти произведения можно многими способами располагать в виде простой последовательности. Можно, например, выписать произведения по диагоналям: … или по квадратам: … Составленный из подобной последовательности ряд наз произведением рядов (А) и (В).

Теорема Коши о произведении двух абсолютно сходящихся числовых рядов: если ряды (А) и (В) сх-ся абсолютно, то их произведение, составленное из произведений (*), взятых в любом порядке, также сх-ся и имеет своей суммой произведение сумм АВ.

15. Дана последовательность, элементами которой явл. ф-ции: (1) от одной и той же переменной , определенные в некоторой области ее изменения . Пусть для каждого из эта последовательность имеет конечный предел. Так как он вполне определяется значением , то также представляет собой функцию от (в ): , которая наз предельной ф-цией для последовательности (или для ф-ции .

Допустим, что для всех из имеет место равенство (2). По определению предела это означает: лишь только зафиксировано из (чтобы иметь дело с определенной числовой последовательностью), по любому заданному найдется такой номер , что для всех выполняется нер-во (3), где под разумеется именно то значение, которое было заранее фиксировано. Если взять другое значение , то получится другая числовая последовательность, и при том же найденный номер может оказаться уже не пригодным; тогда его пришлось бы заменить большим. Но принимает бесконечное мн-во значений, так что мы получаем бесконечное мн-во различных числовых последовательностей, сходящихся к пределу. Для каждой из них найдется свой номер . Возникает вопрос: сущ ли такой номер , который (при заданном ) способен обслужить сразувсе эти последовательности.

Если 1) последовательность имеет в предельную ф-цию и для каждого числа сущ такой не зависящий от номер , что при нер-во выполняется сразу для всех из , то говорят, что последовательность сх-ся (или ф-ция стремится) к ф-ции равномерно относительно в области .

Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности. Для того, чтобы последовательность 1) имела предельную функцию и 2) сходилась к этой ф-ции равномерно относительно в области , необходимо и достаточно, чтобы для каждого числа существовал такой не зависящий от номер , чтобы при и любом нер-во имело место для всех из одновременно.

Последовательность сходится равномерно к функции на множестве , если . ( не может быть одной точкой).

Замечание. Из равномерной сходимости на множестве следует обычная (точечная) сходимость этой же последовательности на . Обратное неверно.

Последовательность сходится равномерно на , если существует , такая что сходится равномерно к на . Обозначается на .

Геометрический смысл равномерной сходимости , то есть графики всех функций с номером на множестве лежат в " -полоске" графика функции .

Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности. сходится равномерно на тогда и только тогда, когда .

Доказательство. ( ) сходится равномерно на функция определенная на такая что на .

Фиксируется . для .

.

( ) Имеем: .

Критерий Коши выполнени (фиксированного). фиксированного числовая последовательность сходится в фиксированному числу. функциональная последовательность сходится к некоторой функции на . Докажем на .

Имеем по условию: . Для любого фиксированного переходим в неравенстве к . функциональная последовательность на .

16. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда. Если члены функционального ряда удовлетворяют в области неравенствам , где члены некоторого сходящегосячислового ряда , то ряд сх-ся в области равномерно.

Функциональный ряд наз мажорируемым в области , если сущ такой сходящийсячисловой ряд с положительными членами, что для всех значений выполняются соотношения . Иначе говоря, ряд наз мажорируемым, если каждый его член по абсолютной величине не больше соответствующего члена некоторого сходящегося числового ряда с положительными членами.

17. Признак Дини равномерной сходимости функционального ряда. Пусть члены ряда непрерывны во всем промежутке и положительны. Если ряд имеет сумму , также непрерывную на всем промежутке, то он сх-ся в этом промежутке равномерно.

18. Признак Лейбница равномерной сходимости функционального ряда.

19. Признак Абеля равномерной сходимости функционального ряда. Пусть ряд сходится равномерно в области , а ф-ции (при каждом ) образует монотонную последовательность и в совокупности – при любых и – ограничены: . Тогда ряд сходится равномерно в области .

20. Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда. Пусть частичные суммы ряда в совокупности – при любых и – ограничены: , а ф-ции (при каждом ) образует монотонную последовательность, которая сх-ся к 0 равномерно в области . Тогда и ряд сходится равномерно в области .

21. Теорема о почленном переходе к пределу в равномерно сходящемся ряде. Пусть каждая из ф-ций определена в области и имеет, при стремлении к , конечный предел: . Если ряд в области сх-ся равномерно, то 1) сх-ся ряд, составленный из этих , и 2) сумма ряда также имеет при предел, именно: .

22. Теорема о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Пусть ф-ции определены в промежутке и все непрерывны в некоторой точке этого промежутка. Если ряд в промежутке сх-ся равномерно, то и сумма ряда в точке также будет непрерывна. Конец.

Если ф-ции непрерывны во всем промежутке , то при наличии равномерной сходимости и сумма ряда , будет непрерывна во всем промежутке.

Пусть члены ряда непрерывны во всем промежутке и положительны. Если ряд имеет сумму , также непрерывную во всем промежутке, то он сх-ся в этом промежутке равномерно. (Т-ма Дини)

23. Теорема о почленном интегрировании равномерно сходящегося функционального ряда. Если ф-ции непрерывны в промежутке , и составленный из них ряд сх-ся в этом промежутке равномерно, то интеграл от суммы ряда представляется следующим образом:

Обобщение теоремы, связанное с отказом от требования непрерывности рассматриваемых ф-ций. Теорема: если ф-ции интегрируемы в промежутке , и составленный из них ряд сх-ся в этом промежутке равномерно, то сумма ряда также будет интегрируема, и имеет место:

24. Теорема о почленном дифференцировании равномерно сходящегося функционального ряда. Пусть ф-ции определены в промежутке и имеют в нем непрерывные производные . Если в этом промежутке не только сх-ся ряд , но и равномерно сх-ся ряд из производных: то и сумма ряда имеет в производную, причем .

Таким образом, при указанных условиях, производная от суммы ряда равна сумме ряда, составленного из производных его членов (допустимо почленное дифференцирование ряда).

Теорема. Пусть ф-ции определены в промежутке и имеют в нем конечные производные . Если ряд сх-ся хоть в одной точке, например при , а ряд , составленный из производных, равномерно сх-ся во всем промежутке , то тогда 1) ряд сх-ся равномерно во всем промежутке и 2) его сумма имеет в производную, выражаемую равенством .

25. Степенным рядом наз функциональный ряд вида , где постоянные числа, называемые коэффициентами. Радиусом сходимости степенного ряда наз такое число , что для всех , степенной ряд сх-ся, а для всех , , расходится. Интервал называется интервалом сходимости ст ряда .

Первая теорема Абеля о сходимости степенного ряда. Если степенной ряд сх-ся при некотором значении не равном нулю, то он сх-ся абсолютно при всяком значении , для которого . Если ряд расходится при некотором значении , то он расходится при всяком , для которого .

26. Теорема Коши-Адамара о интервале и радиусе сходимости степенного ряда. Радиус сх-ти ряда есть величина равная (фор-ла Коши-Адамара), интервал сх-ти .

27. Дан степенной ряд . (1).

1).Какое бы положительное число ни взять, ряд будет сх-ся равномерно относительно в замкнутом промежутке ;

2). Сумма ряда для всех значений между и представляет собой непрерывную ф-цию от ;

3). Если два ст ряда в окрестности точки имеют одну и ту же сумму, то эти ряды тождественны, т.е. соответственные коэффициенты их попарно равны. Теорема устанавливает единственность разложения ф-ции в ст. ряд;

4). Если ст ряд на конце его промежутка сх-ти расходится, то сходимость ряда в промежутке не может быть равномерной.

5). Если ст ряд сх-ся при , то его сумма сохраняет непрерывность (разумеется слева) и при этом значении , т.е. . (Теорема Абеля).

6). Ст. ряд в промежутке , где , всегда можно почленно интегрировать. значение здесь может совпадать и с одним из концов промежутка сх-ти, если на этом конце ряд сх-ся.

7). Ст. ряд внутри его промежутка сх-ти можно почленно дифференцировать. Утверждение сохраняет силу и для конца промежутка сх-ти, если только ст ряд на этом конце сх-ся. Радиусы сх-ти ст. ряда и ряда, полученного из него почленным дифференцированием, совпадают.

8). Ф-ция, представляемая ст. рядом в его промежутке сх-ти, имеет внутри этого промежутка производные всех порядков. Сам ряд, по отношению к этой ф-ции, является ее рядом Тейлора.

Ф-ция, которая разлагается в ряд Тейлора по степеням наз аналитической в точке .

Ряд (1) независимо от того, сх-ся ли он и имеет ли, на самом деле, своей суммой , наз рядом Тейлора для .

Теорема о связи степенного ряда с рядом Тейлора его суммы. Для того чтобы при некотором значении имело место разложение (1) (чтобы ряд Тейлора представлял данную функцию ) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора при этом значении стремился к нулю с возрастанием : .

28. Теорема единственности для степенных рядов. Если два ст ряда в окрестности точки имеют одну и ту же сумму, то эти ряды тождественны, т.е. соответственные коэффициенты их попарно равны. Теорема устанавливает единственность разложения ф-ции в ст. ряд.

29. Вторая теорема Абеля о равномерной сходимости степенного ряда. Вторая теорема Абеля: Пусть степенной ряд сходится в точке . Тогда он сходится равномерно по на отрезке, соединяющем точки 0 и .