Применение матриц

Матрицы

История развития

Впервые матрица под названием "волшебный квадрат" упоминается еще в Древнем Китае. Подобные квадраты чуть позже были известны и у арабских математиков. С развитием теории определителей в конце 17 века швейцарский математик Габриэль Крамер (1704 - 1752) начал разрабатывать свою теорию и в 1751 году, не задолго до своей смерти, опубликовал "правило Крамера" - метод решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с ненулевым определителем матрицы системы. В этот же период появился и "метод Гаусса", применяемый для решения СЛАУ и основанный на последовательном исключении неизвестных.

Как отдельная теория, теория матриц получила свое активное развитие в середине 19 века в работах ирландского математика и физика Уильяма Гамильтона (1805 - 1865) и английского математика Артура Кэли (1821 - 1895). Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат также немецким математикам Карлу Вейерштрассу (1815 - 1897), Фердинанду Георгу Фробениусу (1849 - 1917) и французскому математику Мари Энмону Камиль Жордану (1838 - 1922). Современное название "матрица" было введено английским математиком Джеймсом Сильвестром (1814 - 1897) в 1850 году.

Применение матриц

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи СЛАУ или систем дифференциальных уравнений. Тогда количество строк матрицы соответствует количеству уравнений системы, а количество столбцов равно количеству неизвестных. Матричный аппарат позволяет свести решение СЛАУ к операциям над матрицами.

Матрицей размера называется прямоугольная таблица специального вида, состоящая из строк и столбцов, заполненная некоторыми элементами и ее называют матрицей размера или -матрицей. Элементы матрицы обозначаются , где - номер строки, в которой находится элемент, а - номер столбца. Количество строк и столбцов матрицы задают ее размеры. Размер матрицы указывается справа внизу возле ее имени, либо таблицы с обозначением элементов.

Для обозначения таблица берется либо в круглые скобки, либо окружается двумя параллельными вертикальными прямыми, например

Задание. Чему равен элемент матрицы ?

Решение. Находим элемент, который стоит на пересечении второй строки и третьего столбца:

Таким образом, .

Строка матрицы называется нулевой, если все ее элементы равны нулю. Если хотя бы один из элементов строки не равен нулю, то строка называется ненулевой.

Аналогичное определение и для нулевого и ненулевого столбцов матрицы. Например, в матрице первая строка является нулевой (любой элемент этой строки равен нулю); вторая строка ненулевая, так как элемент .

Главной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний.

Побочной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого нижнего угла матрицы в правый верхний.

Пример

1 и 6 - элементы главной диагонали.

3 и 4 - элементы побочной диагонали.

Для матрицы элементы 1, 2, -1 образуют главную диагональ; а элементы 3, 2, 2 - побочную.