Смешанное произведение векторов

Смешанным (или векторно-скалярным) произведением векторов , и , называется число .

Свойства смешанного произведения векторов:

1. Абсолютная величина смешанного произведения векторов равна объему параллелепипеда, построенного на векторах , и :

Если тройка векторов , и некомпланарная и правая, то их смешанное произведение положительно, а если тройка некомпланарная и левая, то - отрицательно.

2.Объем пирамиды образованной тремя векторами , и равен одной шестой части от модуля смешанного произведения этих векторов:

3. Смешанное произведение равно нулю, если:

а) хоть один из векторов равен нулю;

б) два из векторов коллинеарны;

в) векторы компланарны.

4.

Задачи

1. Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изделий, основные производственно-экономические показатели которых приведены в табл.

Вид изделия	Количество изделий, ед.	Расход сырья, кг.	Норма времени изготовления, ч/изд.	Цена изделия, ден.ед

Требуется определить следующие ежесуточные показатели: расход сырья S, затраты рабочего времени Т и стоимость Р выпускаемой продукции предприятия.

2. Коммерческий банк, участвующий в строительстве многоэтажных автомобильных стоянок в центре Москвы, предпринял усилия по получению кредитов в трех коммерческих банках: «Мост-банке», «Мосбизнесбанке», «Столичном банке сбережений». Каждый из них предоставил кредиты в размерах соответственно 20, 40 и 40 млрд руб. под годовую процентную ставку 40, 25 и 30%.

3. В конце круиза у путешественника осталась валюта: 10 французских франков, 5британских фунтов стерлингов, 15 голландских гульденов и 20 немецких марок. Турист решил обратить валюту в абстрактные единицы (ден.ед.)своей страны. На обменном пункте он узнал курсы валют:

1 французский франк – 10ден.ед.

1фунт стерлингов – 80ден.ед.

1 голландский гульден – 20ден.ед.

1 немецкая марка – 25ден.ед.

Сколько ден.ед. осталось у туриста в абстрактные единицы (ден.ед.)своей страны?

4. Коммерческий банк, участвующий в строительстве многоэтажных автомобильных стоянок в центре Москвы, предпринял усилия по получению кредитов в трех коммерческих банках: «Мост-банке», «Мосбизнесбанке», «Столичном банке сбережений». Каждый из них предоставил кредиты в размерах соответственно 20, 40 и 40 млрд. ден.ед. под годовую процентную ставку 40, 25 и 30%. Сколько придется платить по истечении года за кредиты, взятые у трех банков.

5. Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если и угол между векторами равен 30 .