Приведение матрицы к диагональному виду при помощи преобразования подобия

Теорема 7.5 о приведении матрицы к диагональному виду. Для того чтобы квадратная матрица n-го порядка приводилась к диагональному виду , необходимо и достаточно, чтобы она имела линейно независимых собственных векторов.

Действительно, запишем равенство в виде , т.е.

или , где — столбцы матрицы . Отсюда получаем систему уравнений для столбцов матрицы

Поэтому, если матрицу можно привести преобразованием подобия к диагональному виду , то для столбцов матрицы выполняются равенства (7.18), т.е. столбцы являются собственными векторами матрицы , причем они линейно независимы, так как матрица невырожденная. Необходимость доказана. Пусть, наоборот, матрица имеет линейно независимых собственных векторов , удовлетворяющих (7.18). Тогда, составив из них матрицу , получим для нее равенство , равносильное (7.18). Учитывая, что матрица невырожденная (из-за линейной независимости ее столбцов), получаем , т.е. матрица подобна диагональной. Достаточность доказана.

Следствие 1. Если матрица имеет простой спектр, то она приводится к диагональному виду.

Действительно, в этом случае по свойству 1 собственных векторов все собственные векторы будут линейно независимы.

Следствие 2. Если матрица приводится к диагональному виду , то числа (среди которых могут быть равные) являются собственным значениями матрицы , а столбцы преобразующей матрицы являются соответствующими собственными векторами матрицы .

Следствие 3. Если — линейно независимые собственные векторы матрицы , соответствующие ее собственным значениям (среди которых могут быть равные), то матрица приводится к диагональному виду при помощи преобразующей матрицы , составленной из собственных векторов.