Матрицы: определение, размерность матрицы, виды матриц

Матрицей размера называется прямоугольная таблица, содержащая чисел, состоящая из строк и столбцов.

Элементы матрицы обозначаются , где - номер строки, в которой находится элемент, а - номер столбца.

Виды матриц:

А. Матрица размера называется квадратной, число называется порядком матрицы.

Б. Матрица называется нулевой, если все её элементы равны нулю, т.е. .

В. Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор-строкой, а матрица, состоящая из одного столбца, - вектор-столбцом.

Г. Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

Замечание. Диагональные элементы матрицы (т.е. элементы, стоящие на главной диагонали) могут также равняться нулю.

Д. Скалярной называется диагональная матрица , у которой все диагональные элементы равны между собой.

Замечание. Если нулевая матрица является квадратной, то она также является и скалярной.

Е. Единичной матрицей называется скалярная матрица порядка , диагональные элементы которой равны 1.

Замечание. Для сокращения записи порядок единичной матрицы можно не писать, тогда единичная матрица обозначается просто .

Ж. Матрица называется верхней треугольной матрицей, если все элементы ниже главной диагонали равны нулю.

Матрица называется нижней треугольной матрицей, если все элементы выше главной диагонали равны нулю.

Замечание. Диагональная матрица - это пример матрицы, которая является одновременно верхне- и нижнетреугольной.

З. Ступенчатой называется матрица, удовлетворяющая следующим условиям:

1. если эта матрица содержит нулевую строку (т.е. строку, все элементы которой равны нулю), то все строки, расположенные под нею, также нулевые;

2. если первый ненулевой элемент некоторой строки расположен в столбце с номером , то первый ненулевой элемент следующей строки должен находиться в столбце с номером большим, чем

2. Транспонирование матриц и его свойства

Транспонирование матрицы - это операция над матрицей, когда ее строки становятся столбцами с теми же номеромами.

Если матрица - это матрица размера , то матрица имеет размер .

Свойства:

1.

2.

3.

4.

3. Линейные операции с матрицами: сложение, умножение матриц на число, свойства линейных операций.

Произведением матрицы на число называется матрица, полученная из исходной умножением каждого ее элемента на заданное число.

Суммой матриц и одного размера называется матрица такого же размера, получаемая из исходных путем сложения соответствующих элементов.

Свойства линейных операций:

Везде далее матрицы , и - матрицы одного размера.

1. Ассоциативность

2. , где - нулевая матрица соответствующего размера.

3.

4. Коммутативность

5. Дистрибутивность

6.

7.

4. Умножение матриц и его свойства

Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что элемент матрицы , стоящий в -ой строке и -ом столбце, т.е. элемент , равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -ого столбца матрицы .

Свойства произведения матриц:

1. Ассоциативность

2. Ассоциативность по умножению

3. Дистрибутивность ,

4. Умножение на единичную матрицу

5. В общем случае умножение матриц не коммутативно, т.е.

6.