Доказательство.

, .

Законы коммутативности и ассоциативности легко распространяются на случай объединения (пересечения) любого конечного числа множеств. Именно, в какой бы последовательности не объединялись (пересекались) данные множества , в результате получится одно и тоже множество, которое обозначается . Объединение состоит из тех и только тех элементов, которые входят хотя бы в одно из данных множеств (пересечение содержит те и только те элементы, которые входят во все множества одновременно).

Запишем обобщение законов дистрибутивности и де Моргана

Доказательство проводится, например, методом математической индукции.

Примеры решения задач

Пример 2. Доказать что Û Û Û .

Решение. Для доказательства 12 указанных утверждений достаточно доказать любую замкнутую цепочку из четырех утверждений вида

Доказательство.

а) Þ .

б) Þ .

по определению объединения множеств;

АÈВ = В.

в) Þ .

по определению пересечения множеств;

АВ = А.

г) Þ .

противоречие

д) Þ

Пример 3. Верны ли следующие рассуждения? Проиллюстрировать обоснование истинности (ложности) этих рассуждений диаграммами Венна.

а) Если А, В, С – такие подмножества универсума U, что АВ и АÈС Í В, то АС = Æ.

Пояснение. Условия АВ и АÈС Í В называются посылками или допущениями. Вывод АС = Æ называется заключением или следствием из данных посылок. Совокупность посылок и заключения называется рассуждением. Если можно привести хотя бы один пример (в частности, построить диаграмму Венна), в котором посылки истинны, а заключение ложно, то рассуждение считается неверным.

Решение.В данном случае опровергнуть рассуждение невозможно, строгое доказательство справедливости рассуждения написано под диаграммой (рис. 2)

Æ.

Рис.2

б) Если А, В, С – такие подмножества универсума U, что и то В = Æ.

Решение. Диаграмма Венна приведена на рис.3. Рассуждение ложно.

Рис. 3

Пример 4.Из 100 студентов английский язык знают 28 человек, немецкий – 30, французский – 42, английский и немецкий – 8, английский и французский – 10, немецкий и французский – 5, все языки знают 3 человека. Сколько человек не знают ни одного языка? Сколько человек знают в точности два языка? Сколько человек знают английский или французский языки, но не знают немецкий?

Решение. Построим диаграмму Венна (рис. 4.). Универсум U – это множество всех студентов, A₁ - множество студентов, знающих английский язык; A₂ - множество студентов, знающих немецкий язык; A₃ - множество студентов, знающих французский язык. Области в общем случае разбивают прямоугольник универсума на 8 областей. Внутри каждой области записано число элементов, лежащих в этой области (мощность соответствующего множества). Известно, что

Нужно найти , , .

Рис. 4

; ; .

Литература: [2], [3], [4], [9], [10], [18], [19], [20], [23]