Теорема 6.1 (Кронекера–Капелли).

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу её расширенной матрицы:

Для совместной системы линейных уравнений вопрос о её определённости или неопределённости решается с применением следующих теорем.

Теорема 6.2. Если ранг основной матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система является определённой

Теорема 6.3. Если ранг основной матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система является неопределённой.

Таким образом, из сформулированных теорем вытекает способ исследования систем линейных алгебраических уравнений. Пусть n – количество неизвестных, Тогда:

1) при система несовместна;

2) при система совместна, причём, если , система
определённая; если же , система неопределённая.

Определение 6.1. Базисным решением неопределённой системы линейных уравнений называют такое её решение, в котором все свободные неизвестные равны нулю.

Пример. Исследовать систему линейных уравнений. В случае неопределённости системы найти её базисное решение.

Вычислим ранги основной и расширенной матриц данной системы уравнений, для чего приведём расширенную (а вместе с тем и основную) матрицу системы к ступенчатому виду:

Вторую строку матрицы сложим с её первой строкой, умноженной на третью строку – с первой строкой, умноженной на а четвёртую строку – с первой, умноженной на получим матрицу

К третьей строке этой матрицы прибавим вторую строку, умноженную на а к четвёртой строке – первую, умноженную на В результате получим матрицу

удаляя из которой третью и четвёртую строки получим ступенчатую матрицу

Таким образом, Следовательно, данная система линейных уравнений совместна, а поскольку величина ранга меньше числа неизвестных, система является неопределённой. Полученной в результате элементарных преобразований ступенчатой матрице соответствует система уравнений

Неизвестные и являются главными, а неизвестные и свободными. Придавая свободным неизвестным нулевые значения, получим базисное решение данной системы линейных уравнений:

10 Системы однородных линейных уравнений

Система линейных уравнений называется однородной, если свободный член в каждом уравнении равен нулю. Однородная система имеет вид

. (1.28)

Всякая однородная система всегда совместна, так как всегда имеет нулевое (тривиальное) решение х₁=0, х₂=0, , х_n=0. Для существования нетривиального решения необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных (rang A < n).

Особенностью однородной системы является то, что всякая линейная комбинация ее решений вновь является решением системы. Поэтому для отыскания общего решения системы достаточно найти все ее линейно независимые решения и составить их линейную комбинацию. Совокупность линейно-независимых решений однородной системы называется фундаментальной системой решений. Если ранг системы равен r, то всякая фундаментальная система состоит из (n-r) решений.