Матричные операции

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение: Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Решение системы найдем по формуле (её подробный вывод можно посмотреть в статье Матричные уравнения).

Согласно формуле нам нужно найти обратную матрицу и выполнить матричное умножение . Алгоритм нахождения обратной матрицы подробно разобран на уроке Как найти обратную матрицу?

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

6 Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы

Для системы линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы , отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).
В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c₁, c₂, …, c_n справедливо равенство:

В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца(определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы и , либо набор состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.

7 Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы. Обозначают ранг матрицы r (A).

В приведенном примере ранг матрицы равен двум, так как, например, минор

Ранг матрицы удобно вычислять методом элементарных преобразований. К элементарным преобразованиям относят следующие:

1) перестановки строк (столбцов);

2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число.

Эти преобразования не меняют ранга матрицы, так как известно, что 1) при перестановке строк определитель меняет знак и, если он не был равен нулю, то уже и не станет; 2) при умножении строки определителя на число, не равное нулю, определитель умножается на это число; 3) третье элементарное преобразование вообще не изменяет определитель. Таким образом, производя над матрицей элементарные преобразования, можно получить матрицу, для которой легко вычислить ранг ее и, следовательно, исходной матрицы.

8 Решение систем линейных уравнений методом последовательных исключений неизвестных (метод Гаусса)

Определение 1. Две системы линейных уравнений с одним и тем же набором неизвестных называются равносильными (или эквивалентными), если каждое решение первой системы является решением второй системы и обратно.

Для решения системы ее обычно преобразуют в более простую, которая была бы равносильна исходной. Назовем элементарными следующие преобразования линейных систем:

1. Перестановка двух уравнений.

2. Удаление из системы уравнения, у которого все коэффициенты при неизвестных и свободный член равны нулю.

3. Умножение всех членов уравнения на одно и то же число, отличное от нуля.

4. Прибавление к одному из уравнений системы другого уравнения этой системы, предварительно умножив все его члены на одно и то же число.

Теорема. Всякое элементарное преобразование над системой (1.1.) переводит ее в систему, равносильную исходной.

Эта теорема лежит в основе метода Гаусса. Будем решать систему (1.1) последовательно преобразовывая ее в такую равносильную ей систему, решение которой находится достаточно просто. Исключим х₁ из всех уравнений системы, кроме первого, х₂ из всех уравнений, кроме первого и второго и так далее. Этот процесс будет состоять, очевидно, не более, чем из (m-1) шагов, причем система приводится к одному из двух случаев.

Случай 1. rangA = n (число неизвестных). Система (1.1) приводится к виду

(1.26)

Выражая х_n из последнего уравнения (1.26)

и подставляя его в предыдущее уравнение и т.д., находим все х₁, х₂, , х_n.

Случай 2. rangA < n (меньше числа неизвестных) в этом случае система имеет бесконечное множество решений и эквивалентная система будет иметь вид

где х₁, х₂, . . . , x_r- базисные неизвестные, а х_r+1, х_r+2, , х_n свободные неизвестные. Придадим свободным неизвестным произвольные значения

х_r+1=C₁, х_r+2=C₂, х_n=C_n-r,

получим систему r-уравнений относительно базисных неизвестных. Выражая базисные неизвестные, начиная с последнего уравнения через свободные неизвестные, получаем бесконечное множество решений.

Заметим, что при применении метода Гаусса на практике имеет смысл вместо преобразований системы производить соответствующие преобразования над строками расширенной матрицы системы, т.е. приводить расширенную матрицу системы к трапецивидной с помощью элементарных преобразований над строками.

9 Исследовать систему линейных уравнений – означает определить, какой является эта система – совместной или несовместной, и в случае её совместности выяснить, определённая эта система или неопределённая.

Условие совместности системы линейных уравнений даёт следующая теорема